OpenGL光照计算中法线矩阵原理及推到过程

问题起源

在计算漫反射关照时,须要用到法线,经过法线和光线的点乘值,计算漫反射的产生的光线强度,因此须要从顶点着色器中将法线数据传递到片源着色器中,可是片源着色器中的顶点坐标是通过了模型矩阵变化过的世界坐标.因此两者极可能已经不匹配了,固然模型矩阵是单位矩阵的特殊状况下,就没有影响.

对法线进行mv变换

所以,须要对法线也应用mv矩阵变换.这样,模型的在旋转和缩放后,法线才能也与之匹配,以下图这样:

去掉对法线的偏移效果

但有个问题,就是偏移,若是法线跟着一块儿偏移,方向就会出问题了,加入模型矩阵沿x方向偏移一点,法线的x也相应的增长一点,就会出现下面这样的状况:

这种状况能够经过将法线的齐次坐标设置为0,来解决,由于偏移的原理就是矩阵最后一列的值乘以其次坐标产生的影响:

不等比缩放

大部分状况下,上面的处理就能够获得想要的效果了,可是,若是mv矩阵中存在不等比缩放,那么会出现法线与原来的面不垂直的问题,虽然在不少状况下这个效果可能不会太明显,由于法线误差一点点,关照计算并不会有特别明显的区别:

可是当不等比缩放的不一样轴之间的差距很大时,这个效果就会更明显了.像下面这样:

这个时候计算出来的光照就会和预期的有很明显的区别,给人很怪异的感受了.

法线矩阵

这个时候,须要使用发现矩阵,其实就是模型矩阵逆矩阵的转置矩阵,用上效果立马就对了.

模型矩阵逆矩阵的转置矩阵做用原理

用法很简单,原理仍是须要点时间来理解的.
首先咱们的目标是法线最终须要与顶点的切线垂直.
定义:原法线为n,变换后法线为N,原来顶点处切线为t,变换后切线为T,模型矩阵为M,要计算的结果法线矩阵为X.
.表示点乘,表示矩阵乘以向量(也能够省略),或者向量间叉乘,`表明:
n . t = 0; //法线与切线垂直,因此点乘为0
N . T = 0; //最终结果亦垂直
N = X * n
T = M * t
将第三,四个方程带入第二个方程:
(X * n) . (M * t) = 0
点乘变换成叉乘
(X * n) . (M * t) => (X * n)^T * (M * t) => 省略* => (Xn)^T * Mt
=> n^TX^T * Mt
因为n . t = 0
X^TM = I
n . t = N . T = 0
X^TM = I => X = (M^-1)^T