最小生成树 简单入门

最小生成树

建图是图论基础
https://blog.csdn.net/nuoyanli/article/details/88842395

什么是最小生成树

最小生成树：任何只由 $G$G的边构成,并包含 $G$G的所有顶点的树称为 $G$G的生成树( $G$G连通). 加权无向图 $G$G的生成树的代价是该生成树的所有边的代码(权)的和. 最小代价生成树是其所有生成树中代价最小的生成树。

可以看啊哈算法理解 或者 参考这个博客

http://www.javashuo.com/article/p-fgvmztmv-ho.html

算法

• 普利姆（ $Prim$Prim）
  此算法可以称为“加点法”，每次迭代选择代价最小的边对应的点，加入到最小生成树中。算法从某一个顶点 $s$s开始，逐渐长大覆盖整个连通网的所有顶点。
  图的所有顶点集合为 $V$V；
  初始令集合 $u={s},v=V−u$u=s,v=V−u;
  在两个集合 $u,v$u,v能够组成的边中，选择一条代价最小的边 $(u_0,v_0)$(u0​,v0​)，加入到最小生成树中，并把 $v_0$v0​并入到集合 $u$u中。
  重复上述步骤，直到最小生成树有 $n-1$n−1条边或者 $n$n个顶点为止。

• 克鲁斯卡尔（ $Kruskal$Kruskal)

假设 $WN=(V,{E})$WN=(V,E)是一个含有 $n$n个顶点的连通网，则按照克鲁斯卡尔算法构造最小生成树的过程为：先构造一个只含n个顶点，而边集为空的子图，若将该子图中各个顶点看成是各棵树上的根结点，则它是一个含有n棵树的一个森（摘自 $nocow$nocow）

$Kruskal$Kruskal算法（克鲁斯卡尔算法）：（如果想要边的总长度之和最短，我们自然可以想到首先先选最短的边）将所有的边排序，从最小的边开始选，每次连通最小的边，不能形成回路，所以就要求判断两点间是否已经连通。为了优化操作，我们这里用并查集优化，判断其是否在一个树上。如果不在一个树上，就加进去，继续添加，直到所有的边都在一个集合即可（连通）。
时间复杂度为 $O(mlogm)$O(mlogm)

这是我的简单证明和模板

https://blog.csdn.net/nuoyanli/article/details/88662568