图论入门（七）最小生成树

转载自https://blog.csdn.net/saltriver/article/details/72568556

最小生成树：

       一个正在进行信息化建设的国家级贫困县，需要在下属9个乡镇之间架设光纤网络。为减少建设难度，光纤网主要沿着这9个乡镇之间互连的公路进行铺设。这9个乡镇之间的公路网以及相互之间的距离(单位：km)如下图所示：

       在这个实际应用中，我们的目的，是要寻求一种连接图中所有节点的、成本最低的方式。本质上，再抽象一层，这是个组合优化问题，可以使用一些智能优化算法来解决。而在这个实例上，我们寻求使用更简单的图论方式解决。

        要包含图中所有的顶点n，同时代价最少，第一个想到的自然是减少边的数量，而要连接所有n个顶点，显然至少需要n-1条边。而我们知道一颗树(tree)就是n个顶点，n-1条边。所以，这里引申出图论中的一个新概念：生成树(spanning tree)。含有图中全部n个顶点，以及包含图中某些n-1条边的一颗树是该图的生成树。有几个情况需要注意：

• 图本身必须是无向连通图； 
  如果是非连通图，那就不存在生成树的概念。我们知道树中任意2点都是连通的。如果是有向图，那也没有这个概念。
• 生成树不止一种； 
  生成树的n-1条边可以在图的边集合中选择，当然不止一种情况。
• 每个生成树代价不同。 
  一般使用生成树中边的权重值总和代表每个生成树的代价。 
  而我们的工作就是要找到所有生成树中代价最小的，这就是最小生成树(minimum spanning tree)问题。

那么，我们构建最小生成树的时候，要从哪里着手呢？

首先，我们从边出发，先找到最短的边e-i。

        假设生成树不包含最短边e_i，无论移除其他边中的哪条边，重新构成新的生成树都比最先的生成树代价小，因为哪条边的代价都比边e-i的代价要大。也就是说，任何不包含最短边的生成树结构都可以被做的更小。所以，最小生成树一定包含最短边。（后面的文章我们将看到，这也是最小生成树算法Kruskal的基本思想）。

其次，我们从顶点出发。

       我们以顶点b为例，根据生成树的定义，顶点b与其它顶点肯定是连通的。而顶点b有2条边，即边a-b，边b-d。这意味着最小生成树必然包含这2条边中的一个。而边b-d比a-b要短，因此选择b-d是否更合理？ 我们用反证法证明下，假设选择较长的边a-b是更好的选择，即最小生成树包含a-b这条边。我们把边b-d也加入这个生成树，形成了一个环。在这个环中，如果移除边a-b，那么得到的新生成树代价比以前的要小，这与假设的选择较长边更好相矛盾。所以在b点选择较短的边才有可能生成最小生成树。（后面的文章我们将看到，这也是最小生成树算法Prim的基本思想）。