图,根据点数和边数可分为三种:彻底图,稠密图与稀疏图。优化
彻底图,即\(m=n^2\)的图\((m\)为边数,\(n\)为点数\()\)。如:spa
1 1 0 1 2 1 1 3 2 2 1 1 2 2 0 2 3 3 3 1 2 3 2 3 3 3 0
这个数据是一个彻底图。code
稠密图,即\(m\)十分接近于\(n^2\)的图。如:blog
1 1 0 1 2 1 1 3 2 2 1 1 2 2 0 2 3 3 3 1 2
这个数据是一个稠密图。ci
稀疏图,即\(m\)远远低于\(n^2\)的图。如:it
1 2 1 1 3 5 2 3 7 2 4 3 3 4 5
这个数据是一个稀疏图。io
根据方向可分为两种:有向图和无向图。table
有向图,就是边有方向,好比说,\(1\)~\(2\)有一条边,而\(2\)~\(1\)没有边,则只能从\(1\)前往\(2\),不能从\(2\)前往\(1\),相似于现实中的单行道。class
无向图,就是边无方向,好比说,\(1\)~\(2\)有一条边,而\(2\)~\(1\)没有边,则能够从\(1\)前往\(2\),也能够从\(2\)前往\(1\),相似于现实中的双行道。nio
就相似于现实中路的长度。
图大概长这样:
适用于\(n \le 10000\)。
\(Code:\)
int dis[n][n]; int inf=99999999; for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=1;j<=n;j++) if(i!=j)dis[i][j]=inf; cin>>u>>v>>w; dis[u][v]=w;
邻接矩阵,就是用矩阵来存储图,\(dis[i][j]\)即表明\(i\)~\(j\)的最短路径。如一个有向图:
1 1 0 1 2 1 1 3 2 2 1 1 2 2 0 2 3 3 3 1 2
这个数据用邻接表存储是这样的:
\(dis\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) |
---|---|---|---|
\(1\) | 0 |
1 |
2 |
\(2\) | 1 |
0 |
3 |
\(3\) | 2 |
inf |
0 |
适用于全部状况。
struct edge { int u,v,w; }e[m]; ... cin>>u>>v>>w; e[cnt]={(edge)u,v,w};
适用于全部状况。
int u[m],v[m],w[m],next[2*m],first[m]; ... cin>>u[cnt]>>v[cnt]>>w[cnt]; next[cnt]=first[u[cnt]]; first[u[cnt]]=cnt;
时间复杂度:\(O((m+n)\) \(log\) \(n)\)
使用邻接表。
void dijkstra(int i) { for(int j=0;j<=n;j++) dis[j]=inf; dis[i]=0; memset(book,false,sizeof(book)); priority_queue<pair<int,int>>q; q.push(make_pair(0,i)); while(q.size()) { int x=q.top().second; q.pop(); if(book[x])continue; book[x]=true; for(int k=first[x];k;k=next[k]) { if(dis[v[k]]>dis[u[k]]+w[k]) { dis[v[k]]=dis[u[k]]+w[k]; q.push(make_pair(-dis[v[k]],v[k])); } } } }
时间复杂度:\(O(\)玄\()\)。
使用邻接表\(/\)边表。
void spfa(int i) { for(int j=0;j<=n;j++) dis[j]=inf; dis[i]=0; memset(book,false,sizeof(book)); queue<int>q; q.push(i); book[i]=true; while(!q.empty()) { int k=first[q.front()]; while(k!=-1) { if(dis[v[k]]>dis[u[k]]+w[k]) { dis[v[k]]=dis[u[k]]+w[k]; if(book[v[k]]==false) { q.push(v[k]); book[v[k]]=true; } } k=next[k]; } book[q.front()]=false; q.pop(); } }
时间复杂度:\(O(n^3)\)
使用邻接矩阵。
for(int k=1;k<=n;k++) for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=1;j<=n;j++) dis[i][j]=min(dis[i][j],dis[i][k]+dis[k][j]);
图的最小生成树指,权值和最小的生成树。
struct edge { int u,v,w; }e[3240010]; struct bcj { int father[1810]; void start(int n) {for(int i=0;i<=n;i++)father[i]=i;} int find(int x) {if(father[x]!=x)father[x]=find(father[x]);return father[x];} void unionn(int x,int y) {x=find(x);y=find(y);if(x!=y)father[y]=x;} bool judge(int x,int y) {if(find(x)==find(y))return true;return false;} }; bool cmp(edge a,edge b) { return a.w<b.w; } ... sort(e+1,e+1+m,cmp); uf.start(n); for(int i=1;i<=m;i++) { if(!uf.judge(e[i].u,e[i].v)) { cnt++; ans+=e[i].w; uf.unionn(e[i].u,e[i].v); } if(cnt==n-1)break; }