图论算法之最小生成树（Krim、Kruskal）

时间 2021-08-15 标签数据结构与算法算法图论数据结构

图论算法之最小生成树（`Krim`、`Kruskal`）

图论 (Graph theory) 是数学的一个分支，图是图论的主要研究对象。 图 (Graph) 是由若干给定的顶点及连接两顶点的边所构成的图形，这种图形通常用来描述某些事物之间的某种特定关系。顶点用于代表事物，连接两顶点的边则用于表示两个事物间具有这种关系。

图的相关名词解释：
- 图的表示法：G=(V(G),E(G))，其中V(G)表示点集，E(G)表示边集；
- 度：与一个顶点v关联的边的条数称作该顶点的度，如果是有向图的话，分为入度和出度。
图的分类：有向图和无向图；是否为加权图；有环图和无环图。
图的表示法：邻接矩阵和邻接表。（通常稀疏的图用邻接表，稠密的图用邻接矩阵，稀疏的图用邻接矩阵会非常浪费空间的）
图的遍历：深度优先搜索和广度优先搜索。（DFS使用栈，将顶点存储在栈中，顶点是沿着路径被探索的，存在新的相邻节点就去探索；BFS使用队列，将顶点存入队列中，最先如队列的顶点先被探索）
图遍历作用：可以用来寻找特定的顶点或寻找两个顶点之间的路径，检查图是否连通，检查图是否含有环等。
图遍历的思想：追踪每个第一次访问的节点，并且追踪有哪些节点还没有被完全探索。对于两种遍历方法，都需要指明第一个被访问的顶点。完全探索一个顶点要求我们查看该顶点的每一条边。为了保证算法的效率，务必访问每个顶点至多两次。

最小生成树（Minimum Spanning Tree，MST）：无向连通图中边权和最小的生成树（最短路径连接所有节点）。

注意：只有连通图才有生成树，而对于非连通图，只存在生成森林。

最小生成树有很多实际问题的应用，例如：要在n个城市之间铺设光缆，主要目标是要使这n个城市的任意两个之间都可以通信，但铺设光缆的费用很高，且各个城市之间铺设光缆的费用不同，因此另一个目标是要使铺设光缆的总费用最低。这就需要找到带权的最小生成树。

有两个经典的算法可以用来解决最小生成树问题：Kruskal算法和Prim算法。其中Kruskal算法中便应用了并查集这种数据结构。Prime算法维护的是顶点的集合，而Kruskal维护的是边的集合。

此算法可以视为“加边法”，即把所有边按cost从小到大排序，然后使用并查集依次尝试合并每个边：

Kruskal算法 = 贪心 + 并查集

通过并查集合并后，每个连通分量节点都会有相同的root，因此检查所有节点的root：

此算法可以视为“加点法”，即Kruskal算法每次添加一个最小的边，而Prim算法则是每次添加一个距离已选取节点集最近的点。

流程如下：

集合S表示已选取的节点集；
选任意一个节点作为起始节点 A，放到集合S中，并更新其他节点到集合S的最近距离。因为当前S中只有一个节点 A，因此更新为到节点 A 的距离；
选取距离S最近的一个节点 B，放到集合S中，并更新其他节点到集合S的最近距离。也就是节点 i 的距离更新为 min { adj[A][i], adj[B][i] }；
继续选取、更新，直到N个节点都被选取。

实际提交发现，Prim算法效果远不如Kruskal好，原因如下：

题目给的是边（connections），而使用Prim算法，需要快速得到两个节点之间的距离。如果每次都直接遍历connections，复杂度太高，因此需要先转换成邻接矩阵或邻接表。选择合适的邻接矩阵或邻接表，是解决本题的一个关键。
另外一个关键点就是，获取距离最小的节点，可以直接遍历，也可以借助 PriorityQueue 实现。