读书笔记: 博弈论导论 - 04 - 完整信息的静态博弈 理性和公共知识

读书笔记: 博弈论导论 - 04 - 完整信息的静态博弈 理性和公共知识

理性和公共知识

本文是Game Theory An Introduction (by Steven Tadelis) 的学习笔记。

纯策略中的优点(dominance)

• 数学表达: 除了玩家i之外全部玩家的策略集合

\[ S \equiv S_1 \times S_2 \times \cdots S_n \\ S_{-i} \equiv S_1 \times S_2 \times \cdots \times S_{i-1} \times S_{i+1} \times \cdots S_n \\ s = (s_1, s_2, \cdots, s_n) \\ s_{-i} = (s_1, s_2, \cdots, s_{i-1}, s_{i+1}, \cdots, s_n) \\ s = (s_i, s_{-i}) \]
\(S\): 全部人的全部策略组合。
\(S_{-i}\): 除了玩家\(i\)之外，全部人的全部策略组合。
\(s\): 全部人的一种策略组合。
\(s_{-i}\): 除了玩家\(i\)之外，全部人的一种策略组合。
引进\(S_{-i}\)和\(s_{-i}\)是为了

1. 经过看玩家i之外的全部玩家的策略，来考虑玩家i的策略。
2. 或者专门看玩家i策略。

劣势（被支配）策略(Dominated Strategies)

• 定义 4.1：严格劣势于
  对于玩家i，策略\(s'_i\)严格劣势于\(s_i\)，则：

\[ v_i(s'_i, s_{-i}) < v(s_i, s_{-i}), \forall s_{-i} \in S_{-i} \]

断言 4.1

一个理性玩家不会选择一个严格劣势策略。

优点策略(Dominant Strategies)

• 定义 4.2： 严格优点策略(strictly dominant strategy)
  策略\(s_i \in S_i\)是一个严格优点策略，若是玩家i的任何其它策略都严格劣势于\(s_i\)。

\[ v_i(s_i, s_{-i}) > v(s'_i, s_{-i}), \forall s'_i \in S_i, s'_i \neq s_i, and \ \forall s_{-i} \in S_{-i} \]

• 定义 4.3： 严格优点策略均衡(strictly dominant strategy equilibrium)
  策略组合\(s^D \in S_i\)是一个严格优点策略均衡，若是其中每个玩家i的策略都是严格优点策略。

\[ s_i \equiv s_i^D, \forall i \in N \]

推论 4.1

若是博弈\(\Gamma = (N, \{ S_i \}_{i=1}^{N},\{ v_i \}_{i=1}^{N})\)有一个严格优点策略均衡\(s^D\)，则\(s^D\)是惟一的严格优点策略均衡。

断言 4.2

若是有的话，玩家必定会选择优点策略。

策略，策略集合，策略组合和策略均衡

• 策略(strategy)
  \(s_i\)是玩家的一个策略。

• 策略集合(strategy set)
  \(S_i\)是玩家的全部策略集合。\(s_i \in S_i\)
  \(S\)是全部玩家的全部策略的组合的集合。

• 策略组合(strategy profile)
  \(s\)是N个玩家的一种策略组合。\(s = (s_1, s_2, \cdots, s_n), s \in S\)

• 策略均衡(strategy equilibrium)
  \(s\)是任何一种致使合理结果的策略组合。

方法：严格劣势策略的迭代消除

博弈论方法就是一个寻找均衡的过程。
方法名：IESDS(Iterated Elimination of Strictly Dominated Strategies)
基本逻辑：

一个理性玩家不会选择一个严格劣势策略。
若是有的话，玩家必定会选择优点策略。
过程：略

• 迭代消除均衡(Iterated elimination equilibrium)
  严格劣势策略的迭代消除(IESDS)过程当中幸存下来的博弈组合\(s^{ES}\)。

推论 4.2

若是博弈\(\Gamma = (N, \{ S_i \}_{i=1}^{N},\{ v_i \}_{i=1}^{N})\)，\(s^*\)是一个严格优点策略均衡，则\(S^*\)是惟一的严格劣势策略的迭代消除(IESDS)均衡。

信念(Beliefs)，最佳响应(Best Response)和可合理化(Rationalizability)

在已经学习的两个方法严格优点策略和严格劣势策略的迭代消除(IESDS)以外的状况下，若是玩家i的一个策略\(s_i\)不是一个严格劣势策略，那就意味着在必定条件下（对手的某些策略下），策略\(s_i\)是一个合理的响应。

• 最佳响应(best response)
  玩家i的策略\(s_i \in S_i\)是对手策略\(s_{-i} \in S_{-i}\)的最佳响应，则:
  \[ v_i(s_i, s_{-i}) \geq v_i(s'_i, s_{-i}), \forall s'_i \in S_i \]

• 信念(belief)
  一个玩家i的信念就是一个他对手们的可能策略组合\(s_{-i} \in S_{-i}\)。

• 最佳响应对应(best-response correspondence)
  最佳响应对应\(BR_i(s_{-i})\)，是玩家i，在他的对手们的策略组合\(s_{-i}\)上的全部可能最佳响应的集合。
  \(BR_i(s_{-i})\)能够认为是一个函数，其结果是一个集合。

• 不是一个最佳响应(never a best response)
  玩家i，对于他的对手们的策略组合\(s_{-i}\)的最佳响应集合\(BR_i(s_{-i})\)，若是\(s_{-i}\)不是在信任集合里，则\(s_i \in BR_i(s_{-i})\)都不是最佳响应。

总结

方法

• 严格优点策略
• 严格劣势策略的迭代消除(IESDS)
• 去掉不可信的策略组合（或者保留可信的策略组合）。

推论 4.1

若是博弈\(\Gamma = (N, \{ S_i \}_{i=1}^{N},\{ v_i \}_{i=1}^{N})\)有一个严格优点策略均衡\(s^D\)，则\(s^D\)是惟一的严格优点策略均衡。

推论 4.2

若是博弈\(\Gamma = (N, \{ S_i \}_{i=1}^{N},\{ v_i \}_{i=1}^{N})\)，\(s^*\)是一个严格优点策略博弈，则\(S^*\)是惟一的严格劣势策略的迭代消除(IESDS)均衡。

推论 4.3

对于玩家i，一个严格劣势策略\(s_i\)，不多是任何\(s_{-i} \in S_{-i}\)的最佳响应。

推论 4.4

在一个有限普通形式的博弈中，\(s^*\)是一个严格优点策略，或者是一个惟一的严格劣势策略的迭代消除(IESDS)均衡，
则s_i^*是一个对于任何\(s_{-i} \in S_{-i}\)的最佳响应。

断言 4.1

一个理性玩家不会选择一个严格劣势策略。

断言

若是有的话，玩家必定会选择优点策略。

断言 4.2

一个理性玩家，在认为他的对手选择策略\(s_{-i} \in S_{-i}\)时，总会选择\(s_{-i}\)的最想响应。

断言

一个理性玩家只会选择(他对手们的策略组合的)最佳响应。

参照

• Game Theory An Introduction (by Steven Tadelis)
• 读书笔记: 博弈论导论 - 01 - 单人决策问题
• 读书笔记: 博弈论导论 - 02 - 引入不肯定性和时间
• 读书笔记: 博弈论导论 - 03 - 完整信息的静态博弈 预备知识