读书笔记: 博弈论导论 - 09 - 完整信息的动态博弈 多阶段博弈

读书笔记: 博弈论导论 - 09 - 完整信息的动态博弈 多阶段博弈

多阶段博弈(Multistage Games)

本文是Game Theory An Introduction (by Steven Tadelis) 的学习笔记。

多阶段博弈

• 多阶段博弈
  多阶段博弈是一个有限个数的普通形式阶段博弈(stage-game)的队列。每一个阶段博弈(stage-game)是一个独立的、非完美信息的完整博弈。
  这些阶段博弈的玩家都相同。每一个博弈都属于一段大相径庭的时期(distinct period)。

• 多阶段博弈:收益 - 折扣累计和收益(discounted sum payoff)
  \[ v_i = v_i^1 + \delta^1 v_i^2 + \delta^2 v_i^3 + \cdots + \delta^{T-1} v_i^T = \sum_{t=1}^T \delta^{t-1} v_i^t \\ where \\ \delta \text{: discount rate} \]

• 多阶段博弈:策略
  “若是在博弈1，博弈2，。。。博弈t-1中发生了这些，我会在博弈 t 中采起行动a。”

• 多阶段博弈:条件纯策略队列(conditional pure strategies list)
  第t个阶段的策略（的参数）是以前的发生的事件。
  \[ S_i = {s_i^1, s_i^2(h_1), \cdots, s_i^t(h_{t-1}), \cdots, s_i^T(h_{T-1})} \\ where \\ h_{t-1} \text{ : a particular outcome that occurred up to period t, not including period t. or information set} \\ s_i^t(h_{t-1}) \text { : an action for player i from the } t \text {th stage-game.} \\ h_{t-1} = ((a_1^1, \cdots, a_n^1), \cdots, (a_1^{t-1}, \cdots, a_n^{t-1})) \]

• 多阶段博弈:混合策略(mixed strategy)
  \[ \sigma_i = {\sigma_i^1, \sigma_i^2(h_1), \cdots, \sigma_i^t(h_{t-1}), \cdots, \sigma_i^T(h_{T-1})} \\ where \\ h_{t-1} \text{ : a particular outcome that occurred up to period t, not including period t. or information set} \\ \sigma_i^t(h_{t-1}) \text { : an randomization over player i's actions from the } t \text {th stage-game.} \\ \]

推论9.1

在一个T阶段的多阶段博弈中，\(\sigma^{t*}\)是第t个阶段的一个纳什均衡。
则在这个多阶段博弈中存在一个子博弈精炼均衡，其均衡路径一致于\(\sigma^{1*}, \sigma^{2*}, \cdots, \sigma^{T*}\)产生的路径。

推论9.2

在一个由阶段博弈\(G_1, G_2, \cdots, G_T\)T组成的多阶段博弈中，\(\sigma^*\)是一个纳什均衡，
则在期间T(最后一个)的阶段博弈中，\(\sigma^*\)的约束必定是这个阶段博弈的纳什均衡。

最后一个博弈不存在依赖性。
后面的博弈若是有多个纳什均衡，则可能会影响前面阶段的博弈结果。（胡萝卜大棒理论）

推论9.3

在一个由有限个阶段博弈组成的多阶段博弈中，每一个阶段博弈都有一个惟一的纳什均衡，
则这个多阶段博弈有一个惟一的子博弈精炼均衡。

单阶段误差原理(The One-Stage Deviation Principle)

单阶段误差原理用来简化有多个阶段博弈的计算过程。

• 单阶段不可改善的策略(one-stage un-improvable strategy)
  一个策略是单阶段不可改善的，若是不存在\(h_i, a \in A_i(h_i)\)
  \[ v_i(\sigma_i^{a,h_i}, h_i) > v_i(\sigma_i, h_i) \\ where \\ \sigma_i^{a,h_i} \text{: is identical to } \sigma_i \text{ everywhere except at } h_i. \]。

定理：9.1

一个单阶段不可改善的策略必定是最优的。

参照

• Game Theory An Introduction (by Steven Tadelis)
• 读书笔记: 博弈论导论 - 01 - 单人决策问题
• 读书笔记: 博弈论导论 - 02 - 引入不肯定性和时间
• 读书笔记: 博弈论导论 - 03 - 完整信息的静态博弈 预备知识
• 读书笔记: 博弈论导论 - 04 - 完整信息的静态博弈 理性和公共知识
• 读书笔记: 博弈论导论 - 05 - 完整信息的静态博弈 纳什均衡
• 读书笔记: 博弈论导论 - 06 - 完整信息的静态博弈 混合的策略
• 读书笔记: 博弈论导论 - 07 - 完整信息的动态博弈 预备知识
• 读书笔记: 博弈论导论 - 08 - 完整信息的动态博弈 可信性和序贯理性