读书笔记: 博弈论导论 - 14 - 不完整信息的静态博弈机制设计

时间 2019-11-10

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读书笔记: 博弈论导论 - 14 - 不完整信息的静态博弈机制设计

机制设计(Mechanism Design)

本文是Game Theory An Introduction (by Steven Tadelis) 的学习笔记。html

机制设计的概念

机制设计的目标是设计一个能够达到指望收益的博弈。
因为这是根据博弈结果来推导博弈的形式，也被称为反向博弈论(reverse game theory)。
这个理论明显在经济和政治方面有不少用途。
咱们假象这样一个例子：函数

某个政府须要设计一个关于化工厂的环保政策。
这个政策可能涉及到：几个化工厂、政府和大众。
大概的想法是：政府有一些排放许可；化工厂须要从政府那里买排放许可；政府和大众利用得到的资金改善环境。
机制设计的核心是：制定玩家的行动和支付资金的关系。学习

从上面的例子能够看出一些新的元素：优化

排放许可
在理论中称之为替代选择(alternatives)，或者叫作公共物品(public good)。
资金的转移(monetary transfer)

新的概念：ui

机制设计者(mechanism designer)
也称为中央集权(central authority)。中央集权不必定是玩家。
替代选择(alternatives)或者公共物品(public good)
中央集权提供的公共物品或者服务。
将成为玩家的结果(outcome)的一部分。
资金的转移(monetary transfer)
每一个玩家得到的资金。负数表示支付的资金，
成为收益函数的一部分。
收益函数
在机制设计中，玩家的结果包含两部分：公共物品和资金的转移。
另外，咱们简单地加上资金部分做为收益。
因此收益函数变为:
\[ v_i(x, m_i, \theta_i) = u(x, \theta_i) + m_i \]
全部玩家的一个结果组合(outcomes)
这里用y来表示，以区分x。
\[ y = (x, m_1, \cdots, m_n) : x \in X, m_i \in \mathbb{R} \ \forall i \in N, \sum_{i=1}^{n} m_i \leq 0 \\ y_i = (x_i, m_i) \]
选择规则(choice rule)
根据类型\(\theta\)获得机制的结果\(y\)。
\[ f(\theta) = (x(\theta), m_1(\theta), \cdots, m_n(\theta)) \\ where \\ x(\theta) \text( : decision rule) \\ (m_1(\theta), \cdots, m_n(\theta)) \text( : transfer rule) \]
选择条件定义了每一个类型想要的结果。

机制设计者面临的问题和一个方向

机制设计者面临的问题和一个方向spa

在不完整信息博弈中，私有信息（机制设计者不知道的信息）：设计

每一个玩家的类型\(\theta\)。
公共知识：

类型集合\(\Theta\)

每种类型的选择规则，也就是每种类型玩家倾向的结果

每种类型的策略，就是每种类型玩家的倾向策略

策略行动致使的结果。

机制设计的两个方向之一，是在不知道玩家的类型（这是私有信息）的状况下，
设计出一个足够聪明的博弈，可以保证：orm

对于每种类型的玩家组合，其选择规则的结果，和博弈的贝叶斯纳什均衡的结果一致。
也就是说，其选择规则结果和博弈的策略引发的结果一致。
知足上面条件的机制，则称之实现了选择规则。
下面是相应的数学说明。

机制(mechanism)
机制规定了玩家的行动集合，以及行动结果与资金转移的关系。
\[ \Gamma = \langle A_1, \cdots, A_n, g(\cdot) \rangle \\ where \\ g : A_1 \times \cdots A_n \to Y \\ \]
玩家i的纯策略
\(s_i : \Theta_i \to A_i\)
玩家i的收益函数
\(v_i(g(s), \theta_i)\)htm
贝叶斯纳什均衡(Bayesian Nash Equilibrium)
若是知足下面条件，一个策略组合\(s^*(\cdot) = (s_1^*(\cdot), \cdots, s_n^*(\cdot))\)
是一个机制\(\Gamma = \langle A_1, \cdots, A_n, g(\cdot) \rangle\)的贝叶斯纳什均衡：
\[ E_{\theta_{-1}} [v_i(g(s_i^*(\theta_i), s_{-i}^*(\theta_{-i})), \theta_i) | \theta_i] \geq E_{\theta_{-1}} [v_i(g(a_i, s_{-i}^*(\theta_{-i})), \theta_i) | \theta_i], \forall a_i \in A_i, \forall i \in N, \forall \theta_i \in \Theta_i \]blog

也就是说，对于每种类型组合，每一个玩家，当对手的策略是这个策略组合时，这个玩家的这个策略组合的策略是最优的（其指望收益大于等于其它的全部策略的指望收益）。
机制实现选择规则
若是知足下面条件，则这个机制\(\Gamma\)实现了(implement)选择规则\(f(\cdot)\):
存在一个贝叶斯纳什均衡\(s^*(s_1^*(\theta_1), \cdots, s_n^*(\theta_n))\)，知足：
\[ g(s_1^*(\theta_1), \cdots, s_n^*(\theta_n)) = f(\theta), \forall \theta_i \in \Theta_i \]
部分实现(partial implementation)和彻底实现(full implementation)
除了指望的贝叶斯纳什均衡，若是容许存在其它的、不指望的均衡，成为部分实现；
若是不容许存在其它的、不指望的均衡，成为彻底实现；

揭露原理(the revelation principle)

机制设计的另一个方向：玩家意识到机制设计者会实现他的选择条件\(f(\cdot)\)时，玩家会透露本身的类型。

直接揭露机制(direct revelation mechanism)
一个选择规则\(f(\cdot)\)的直接揭露机制\(\Gamma = \langle \Theta_1, \cdots, \Theta_n, f(\cdot) \rangle\)是:
\[ A_i = \Theta_i, \forall i \in N \\ g(\theta) = f(\theta), \forall \theta \in \Theta \]
解释：

对于每一个玩家，其行动集合\(\Theta\)是选择规则\(\Theta_i\)对应的行动集合（想象一下，每一个类型对应一个策略，一个策略对应一个行动）。
对于每一个类型\(\theta\)，它的选择规则（想要的）结果\(f(\theta)\)和机制设计的结果\(g(\theta)\)一致。
在贝叶斯纳什均衡中诚实地可实现的(truthfully implementable in Bayesian Nash equilibrium)
一个选择规则\(f(\cdot)\)是在贝叶斯纳什均衡中诚实地可实现的，
若是这个选择规则的直接揭露机制\(\Gamma = \langle \Theta_1, \cdots, \Theta_n, f(\cdot) \rangle\)有一个贝叶斯纳什均衡\(s_i^*(\theta_i) = \theta_i\),
也就是说，知足：
\[ E_{\theta_{-1}} [v_i(f(\theta_i, \theta_{-i}), \theta_i) | \theta_i] \geq E_{\theta_{-1}} [v_i(g(\theta_i', \theta_{-i}), \theta_i) | \theta_i], \forall \theta_i' \in \Theta_i \]
解释：

当解释规则的直接揭露机制有有一个贝叶斯纳什均衡解，则其实彻底可知足的。

推论 14.1 : 对于贝叶斯纳什实现的揭露原理
一个选择规则\(f(\cdot)\)在贝叶斯纳什均衡中是可实现的，当且仅当它在贝叶斯纳什均衡中诚实地可实现的(truthfully implementable in Bayesian Nash equilibrium)。

揭露原理的想法：

在均衡中，玩家知道这个机制实现了选择规则\(f(\cdot)\)，因此会何其保持一致。
所以他们可能会诚实地述说他们的类型，让机制设计者直接实现选择规则\(f(\cdot)\)。

优点策略和Vickrey-Clarke-Groves机制

优点策略
若是知足如下条件，则策略组合\(s^*(\cdot) = (s_1^*(\cdot), \cdots, s_n^*(\cdot))\)是一个机制\(\Gamma = \langle A_1, \cdots, A_n, g(\cdot) \rangle\)的优点策略：
\[ v_i(g(s_i^*(\theta), a_{-i}), \theta_i) \geq v_i(g(a_i', a_{-i}), \theta_i), \forall a_i \in A_i, \forall a_{-i} \in A_{-i}, \forall i \in N, \forall \theta_i \in \Theta_i \]
同时，揭露原理意味着若是选择法则\(f(\cdot)\)若是一个选择规则能够被一个优点策略实现，咱们只要检测这个选择法则是在优点策略中诚实地可实现的。
即：
\[ v_i(f(\theta_i, \theta_{-i}), \theta_i) \geq v_i(f(\theta_i', \theta_{-i}), \theta_i), \forall \theta_i \in \Theta_i, \forall \theta_{-i} \in \Theta_{-i}, \forall i \in N, \forall \theta_i \in \Theta_i \]

推论 14.2
在一个准线性(quasilinear)环境中，给定一个实例状态\(\theta \in \Theta\)，
一个替代物(alternative)\(x^* \in X\)是一个帕累托优化，当且仅当下面有一个解：
\[ \max_{x \in X} \sum_{i=1}^I u_i(x_i, \theta_i) \]

First-best decision rule
若是对于\(\forall \ \theta \in \Theta\), \(x^*(\theta)\)都是帕累托优化的，则\(x^*(\cdot)\)为First-best decision rule。
Vickrey-Clarke-Groves机制
给定一个宣布的类型\(\theta'\)，
这个选择规则\(f(\theta') = (x(\theta'), m_1(\theta'), \cdots, m_n(\theta') )\)是一个Vickrey-Clarke-Groves机制，
若是\(x^*(\cdot)\)是一个第一好决定规则(first-best decision rule)，而且：
\[ m_i(\theta') = \sum_{j \neq i} u_j(x^*(\theta'_j, \theta'_{-i}), \theta'_j) + h_i(\theta'_{-i}) \\ where \\ h_i(\theta'_{-i}) \text{ is an arbitrary function of } \theta'_{-i} \]

解释：

没有彻底看懂。大概的意思是对于First-best decision rule \(x^*(\cdot)\)，
能够找到一个转移规则\((m_1(\cdot), \cdots, m_n(\cdot))\)，
让选择规则成为一个在优点策略中可实现。

下面是一个解：

Pivotal Mechanism - a particular form of Vickrey-Clarke-Groves机制
\[ h_i(\theta'_{-i}) = - \sum_{j \neq i} u_j(x_{-i}^*(\theta'_{-i}), \theta'_j) \\ where \\ x_{-i}^*(\theta'_{-i}) \in \arg \max_{x \in X} \sum_{j \neq i} u_j(x, \theta'_j) \\ Thus \\ m_i(\theta') = \sum_{j \neq i} u_j(x^*(\theta'_j, \theta'_{-i}), \theta'_j) - \sum_{j \neq i} u_j(x_{-i}^*(\theta'_{-i}), \theta'_j) \\ \]

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机制设计(Mechanism Design)

机制设计的概念

机制设计者面临的问题和一个方向

揭露原理(the revelation principle)

优点策略和Vickrey-Clarke-Groves机制

参照

读书笔记: 博弈论导论 - 14 - 不完整信息的静态博弈机制设计

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