线性代数笔记30——类似矩阵和诺尔当型

 

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长方矩阵与正定矩阵

　　咱们以前一直在讨论方阵，但大量的实际问题应用到了长方矩阵，好比在最小二乘中用到了A^TA。

　　若是A是一个m×n的长方矩阵，那么A^TA是一个对称矩阵，固然也是方阵，咱们感兴趣的是A^TA的正定性。对于A^TA来讲，咱们对它的特征向量和行列式一无所知，须要根据x^T(A^TA)x > 0来判断其正定性：

　　当且仅当Ax=0时，上式等于0，所以只须要看看何时Ax=0。

　　咱们在矩阵零空间中讨论过，对于一个m×n的长方矩阵来讲，若是是矩阵是列满秩，m > n，那么该矩阵的零空间只有零向量。所以，当A是列满秩的矩阵时，仅当x=0时Ax=0，此时对于任意非零向量，必定有x^T(A^TA)x > 0，A是正定的。

类似矩阵

　　A和B都是n×n的方阵，若存在可逆矩阵M，使得B=M^-1AM，则称A和B互为类似矩阵，记做A~B。

类似矩阵与特征值

　　实际上咱们早就见过类似矩阵。若是A有n个线性无关的特征向量，则A能够对角化为A=SΛS^-1，至关于S^-1AS=Λ，A和其特征值矩阵Λ互为类似矩阵，这里的M=S，是特征向量矩阵。实际上A的类似矩阵有不少，咱们能够用任意可逆矩阵M代替S，从而求得其余的类似矩阵，Λ是众多类似矩阵中最简洁的一个。

　　召唤一个矩阵：

　　Λ和A互为类似矩阵。若是取另外一组可逆矩阵，能够获得A的另外一个类似矩阵：

　　观察B会发现，它的迹是4（特征向量之和），行列式是3（特征向量之积），这暗示咱们B的特征向量和A相同。实际上这正是类似矩阵的特性：类似矩阵具备一样的特征值。实际上全部特征是是3和1的二阶矩阵都是A的类似矩阵。

　　为何类似矩阵会出现相同的特征值呢？如今设A和B互为类似矩阵，B=M^-1AM，根据特征方程：

　　如今出现了新的特征方程，B的特征向量是M^-1x，特征值是λ，和A的特征值一致。固然，别期望特征向量也相同，若是特征向量也相同，就变成了彻底相等的同一个矩阵。

类似矩阵的性质

对于B=M^-1AM

　　设A，B和C是任意同阶方阵，则有：

　　（1）反身性：A~A

　　（2）对称性：若A~B，则B~A

　　（3）传递性：若A~B，B~C，则A~C

　　（4）若A~B，则两者的特征值相同、行列式相同、秩相同、迹相同。

　　（5）若A~B，且A可逆，则B也可逆，A^-1~B^-1。

特征值相等的状况

　　当A的全部特征值互不相同时，A必然存在n个线性无关的特征向量，此时A可以对角化；若是存在彻底相等的特征值，是否可以对角化就很差说了，须要另行判断，咱们对这类矩阵的类似矩阵一样感兴趣。

　　上面的对角矩阵有两个相同的特征值：λ₁=λ₂=4，若是A有类似矩阵，咱们看看这个类似矩阵是什么：

　　此时A的类似矩阵是A自己，相似A这种特征值重复的对角矩阵，它们只和本身类似。

　　

　　另外一种特征值相同的矩阵则可能有不少类似矩阵，两个特征值都是4的这类矩阵中最简洁的是：

　　

　　这个矩阵没法对角化，若是它能对角化，那么：

　　这显然是不成立的。相似A的矩阵虽然有彻底相同的特征向量，但没法对角化，好比把右上角的元素1改为其余值。其中A是这类矩阵中最简单的一个，称为诺尔当标准型。

诺尔当标准型

　　诺尔当指出，对于特征值彻底相同的方阵A，就算不能对角化，也必定可以经过变换获得与对角矩阵很接近的诺尔当标准型。具体来讲，对于方阵A，必定有一样规模的可逆矩阵P，使得P^-1AP=J，J是诺尔当标准型。

　　诺尔当标准型究竟是个啥？举个例子：

　　上面的矩阵就是诺尔当标准型，其中空白区域的元素全是0，每个红色方块是一个诺尔当块。每一个诺尔当块都要知足两个性质：主对角线元素彻底相同（特征值彻底相同），主对角线上方的次对角线元素全为1（若是有次对角线的话）。上面的矩阵是5个诺尔当块构成的，其中[4]比较特别，它只有主对角线，没有次对角线，是大小为1的诺尔当块。

　　若尔当标准型是由若干个若尔当块按对角排列组成的准对角矩阵。

　　有时候，诺尔当标准型不是那么容易辨别。来看几个诺尔当标准型：

　　J₁和J₂比较容易：

　　J₃不是诺尔当标准型，它的次对角线是1，主对角线元素不全相等。

　　J₄也是诺尔当标准型，包含了三个大小为1的诺尔当块。

诺尔当标准型与类似矩阵

　　诺尔当告诉咱们，若是一类矩阵能够化为相同的标准诺尔当型J，则这些矩阵所有是类似矩阵，均可以用P^-1JP来表示。

　　A是诺尔当标准型，把右上角的元素1改为其余值，一样能够转换成A的形式，它们都是类似矩阵。

　　下面的一组也是类似矩阵：

　　B的第一个块能够很容易地经过矩阵变换转换成诺尔当块。

　　若是两个同阶矩阵有相同数量的诺尔当块，但尺寸不一样，则这两个矩阵不是类似矩阵：

　　C由一个大小为3和1的诺尔当块构成，D由两个大小为2的诺尔当块构成，虽然诺尔当块的数量相同，但尺寸不一样，它们并非类似矩阵。

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　　出处：微信公众号 "我是8位的"

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