线性代数笔记25——马尔可夫矩阵

A^T的特征值

　　矩阵A的特征值和A^T的特征值是同样的。

　　求解特征值的方法是det(A-λI) = 0，根据行列式的性质，矩阵的行列式等于矩阵转置的行列式，所以：

　　所以λ也是A^T的特征值。

马尔可夫矩阵

　　矩阵A有2个特色：A中的全部元素都是非负的；A中的每一列之和都等于1。形如A的矩阵称为马尔可夫矩阵。马尔可夫矩阵主要应用在几率领域。将一个马尔可夫矩阵进行方幂运算仍然获得马尔可夫矩阵。

　　当处理一个微分方程时，特征值0意味着获得了一个稳态。当进行矩阵的方幂运算时，稳态的条件包括：

1. λ₁=1是特征值之一。
2. 其余特征值的绝对值比1小，|λ_i|<1

　　给定一个向量u₀和一个可以对角化的矩阵A，若是u_k+1=Au_k，那么：

　　当λ₁=1，其余特征值的绝对值比1小时，则u_k在k增大的过程当中趋近于C₁x₁，即给出了一个稳态。x₁是A的特征向量，它的每一个份量都是大于或等于0的值。

为何必定有λ=1的特征值

　　马尔可夫矩阵的每一列之和为1，这个性质保证了矩阵有一个λ=1的特征值。

　　回顾前面的章节，咱们经过下式来计算A的特征值：

　　若是λ=1时是一个特征值，那么A-λI必定是一个奇异矩阵：

　　A减去单位向量至关于把A的每一列之和减去1，此时全部行向量相加获得0向量，这意味着一个行向量能够用另外两个行向量表示，所以行向量是线性相关的，A-I是奇异矩阵，必定会有det(A-I)=0。

人口的流动

　　对于方程u_k+1=Au_k，A是马尔可夫矩阵，咱们用人口的流动解释马尔可夫矩阵。

　　u的份量分别表示两个城市人口，A中的每一列表明人口的去留比例。第一列的0.9表示留在u_A的人口占u_A总人口的90%，剩余10%流入u_B；第二列的0.2表示从u_B流入u_A的人口占u_B的20%，剩余80%留在u_B。每一列的加和为1保证了总人口不变。若是有一个初始值：

　　表示在t=0时刻，u_A的总人口是0，是个待开辟的新城市，u_B有1000人。通过一次迁徙，在t=1时刻：

 

　　此次迁徙主要是从u_B迁入u_A，有200人进入u_A，剩余800人留在u_B。

 

　　咱们但愿得到长时间迁徙后的人口分布，这须要知道A的特征值和特征向量。A是马尔可夫矩阵，所以一个特征值是λ₁=1，经过矩阵的迹可知另外一个特征值是λ₂=0.9+0.8-1=0.7。由此能够求得两个特征向量：

　　因为两个特征值符合方幂运算时达到稳态的条件，因此u_k在k增大的过程当中趋近于C₁x₁，即最后通过多年的迁徙，两个城市的人口趋近于定值：

　　

综合示例

　　一个颗粒能够在A和B之中来回跳动，跳动的几率以下图所示：

　　若是颗粒在A，下一次跳到B的几率是0.4，仍然留在A的几率是0.6；若是在B，下一次跳到A的几率是0.2，仍然留在B的几率是0.8。

　　若是颗粒最初在A，那么它一步以后，n步以后，无穷步后留在A或移动到B的几率是多少？

　　

　　首先构建模型，将上图构形成马尔可夫矩阵：

　　第一列表示颗粒停留在A的几率是60%，从A跳到B的几率是40%；第二列表示从B跳到A的几率是20%，停留在B的几率是80%。

　　颗粒最初在A位置，所以初始条件是：

　　第一次移动后，停留在A的几率是60%，移动到B的几率是40%：

　　第n次移动后：

　　u_n的两个份量分别表示第n次移动后停留在A的几率和移动到B的几率。

　　无穷步后，留在A的几率是33.33%。

　　

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　　做者：我是8位的

　　出处：http://www.cnblogs.com/bigmonkey

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