堆是具有以下性质的完全二叉树:
每个结点都大于或等于它的左右子结点,称为大顶堆;每个结点都小于或等于它的左右子结点,称小顶堆。如下图:
同时,我们对堆中的结点按层进行编号,将这种逻辑结构映射到数组中就是下面这个样子
该数组从逻辑上讲就是一个堆结构,我们用简单的公式来描述一下堆的定义就是:
大顶堆:arr[i] >= arr[2i+1] && arr[i] >= arr[2i+2]
小顶堆:arr[i] <= arr[2i+1] && arr[i] <= arr[2i+2]
堆排序的基本思想是:将待排序的元素(一般升序采用大顶堆,降序采用小顶堆) 构造成一个大顶堆。此时根节点是最大值,将其与末尾元素进行交换,此时末尾元素是最大值且排好序。再将n-1个元素构造成大顶堆,将堆顶元素与未排好序的末尾元素交换,如此反复,直到得到一个有序序列。
步骤一 构造初始堆。将给定无序序列构造成一个大顶堆。
a.假设给定无序序列结构如下
2.此时我们从最后一个非叶子结点开始(叶结点自然不用调整,第一个非叶子结点 arr.length/2-1=5/2-1=1,也就是下面的6结点),从左至右,从下至上进行调整。
4.找到第二个非叶节点4,由于[4,9,8]中9元素最大,4和9交换。
这时,交换导致了子根[4,5,6]结构混乱,继续调整,[4,5,6]中6最大,交换4和6。
此时,我们就将一个无需序列构造成了一个大顶堆。
步骤二 将堆顶元素与末尾元素进行交换,使末尾元素最大。然后继续调整堆,再将堆顶元素与末尾元素交换,得到第二大元素。如此反复进行交换、重建、交换。
a.将堆顶元素9和末尾元素4进行交换
b.重新调整结构,使其继续满足堆定义
c.再将堆顶元素8与末尾元素5进行交换,得到第二大元素8.
后续过程,继续进行调整,交换,如此反复进行,最终使得整个序列有序
堆排序是利用堆这种数据结构而设计的一种排序算法,堆排序是一种选择排序,它的最坏,最好,平均时间复杂度均为O(nlogn),它也是不稳定排序。
package SortType; import java.util.Arrays; public class HeapSort1 { public static void main(String[] args) { int[] arr={4,6,8,5,9}; Heap(arr); System.out.println(Arrays.toString(arr)); } public static void Heap(int[] arr) { //构造大顶堆 for(int i=arr.length/2-1;i>=0;i--) { //从第一个非叶子结点从下至上,从右至左调整结构 createBigHeap(i,arr,arr.length); } //交换堆顶元素与末尾元素+调整堆结构 for(int j=arr.length-1;j>0;j--) { swap(arr,0,j);//将堆顶元素与末尾元素进行交换 createBigHeap(0,arr,j);//重新对堆进行调整 } } //交换堆顶和未排序的最后一个元素 public static void swap(int[] arr,int top,int last) { int temp=arr[top]; arr[top]=arr[last]; arr[last]=temp; } //调整大顶堆(仅是调整过程,建立在大顶堆已构建的基础上) public static void createBigHeap(int i,int[] arr,int length) { for(int k=2*i+1;k<length;k=2*k+1) { int max=arr[i];//假设当前元素为最大值 if(k+1<length&&arr[k+1]>arr[k])//从i结点的左子结点开始,也就是2i+1处开始 { //如果左子结点小于右子结点,k指向右子结点 k++; } if(arr[k]>max)//如果子节点大于父节点,将子节点值赋给父节点 { arr[i]=arr[k]; i=k; } else{ break; } arr[i]=max;//将max值放到最终的位置 } } }