数据结构和算法(Golang实现)(10)基础知识-算法复杂度主方法

时间 2020-05-10

标签数据结构算法 golang 实现基础知识复杂度方法栏目 Go 繁體版

原文原文链接

算法复杂度主方法

有时候，咱们要评估一个算法的复杂度，可是算法被分散为几个递归的子问题，这样评估起来很难，有一个数学公式能够很快地评估出来。算法

1、复杂度主方法

主方法，也能够叫主定理。对于那些用分治法，有递推关系式的算法，能够很快求出其复杂度。segmentfault

定义以下：数组

若是对证实感兴趣的能够翻阅书籍：《算法导论》。若是以为太难思考，能够跳过该节。数据结构

因为主定理的公式十分复杂，因此这里有一种比较简化的版原本计算：并发

2、举例

二分搜索，每次问题规模减半，只查一个数，递推过程以外的查找复杂度为O(1)，递推运算时间公式为：T(n) = T(n/2) + O(1)。
快速排序，每次随机选一个数字做为划分进行排序，每次问题规模减半，递推过程以外的排序复杂度为O(n)，递推运算时间递推公式为：T(n) = 2T(n/2) + O(n)。

按照简化版的主定理，能够知道：数据结构和算法

二分查找：a = 1，b = 2，d = 0，能够知道a = b^d，因此二分查找的时间复杂度为：O(logn)。函数

快速排序：a = 2，b = 2，d = 1，能够知道a = b^d，因此快速排序的时间复杂度为：O(nlogn)。spa

强调：并不是全部递推关系式均可应用主定理，可是大部分状况下均可以。code

由于须要较多的数学知识，因此咱们只简单介绍到这里。协程

延伸-计算理论：P和NP问题

在计算机科学中，有一个专门的分支研究问题的可计算性，叫作计算理论。

咱们用计算机算法来解决一个问题，若是一个问题被证实很难计算，或者只能暴力枚举来解决，那么咱们就没必要花大力气去质疑使用的算法是否是错了，为何这么慢，计算怎么久都没出结果，到底有没有更好的算法。

计算机科学把一个待解决的问题分类为：P问题，NP问题，NPC问题，NP-hard问题。

1、P 和 NP 问题

相似于O(1)，O(logn)，O(n)等复杂度，规模n出如今底数的位置，计算机能在多项式时间解决，咱们称为多项式级的复杂。

相似于O(n!)，O(2^n)等复杂度，规模n出如今顶部的位置，计算机能在非多项式时间解决，咱们称为非多项式级的复杂度。

若是一个问题，能够用一个算法在多项式时间内解决，它称为P问题(P为Polynominal的缩写，多项式)。

好比求1加到100的总和，它的时间复杂度是O(n)，是多项式时间。

然而有些问题，只能用枚举的方式求解，时间复杂度是指数级别，非多项式时间，可是只要有一个解，咱们能在多项式时间验证这个解是对的，这类问题称为NP问题。

也就是说，若是咱们只能靠猜出问题的一个解，而后能够用多项式时间来验证这个解，这些问题都是NP问题。

因此，按照定义，全部的P问题都是NP问题。

计算理论延伸出了图灵机理论，自动机=算法。

有两种自动机，一种是肯定性自动机，机器从一个状态到另一个状态的变化，只有一个分支能够走，而非肯定性自动机，从一个状态到另一个状态，有多个分支能够走。P问题均可以用两种机器来解决，当非肯定性自动机退化就变成了肯定性自动机，而NP问题只能用非肯定性自动机来解决。

自动机对N和NP问题的定义：

能够在肯定性自动机以多项式时间解决的问题，称为P问题，能够在多项式时间验证答案的问题称为NP问题。而NP问题是能够在非肯定型自动机以多项式时间解决的问题（NP两字为Non-deterministicPolynomial的缩写，非肯定多项式）。

数学，计算机科学，哲学，三个学科其实交融在一块儿，自动机是一台假想的机器，世界其实也能够认为是一个假想的机器，因此世界能够等于一台自动机吗，你们能够发挥想象力，在之后的日子里慢慢体会，建议购买书籍《计算理论》补习相关知识。

2、NPC 和 NP-hard 问题

存在这样一个NP问题，全部的NP问题均可以约化成它。换句话说，只要解决了这个问题，那么全部的NP问题都解决了。其定义要知足2个条件：

它得是一个NP问题。
全部的NP问题均可以约化到它。

这种问题称为NP彻底问题（NPC）。按照这种定义，NP问题要比NPC问题的范围广。

那什么是NP-hard问题，其定义要知足2个条件：

全部的NP问题均可以约化到它。
它不是一个NP问题。

也就是说，NP-hard问题更难，你只要解决了NP-hard问题，那么全部的NP问题均可以解决。可是，这个问题自己不是一个NP问题，也就是解不能在多项式时间内被验证。

好比你有一个交际网，每一个人是一个节点，认识的人之间相连。你要经过一个最快、最省钱、最能提高你我的形象、最没有威胁、最不影响你平常生活的方式认识一个萌妹，你怎么证实你认识这个萌妹是最省钱的呢？-来自知乎回答。

咱们一旦发现一个问题是NPC问题，那么咱们很难去准确求出其解，只能暴力枚举，靠猜。

3、总结

各种问题能够用这个图来表示：

"P=NP" 问题的目标，就是想要知道P和NP这两个集合是否相等。为了证实两个集合（A和B）相等，通常都要证实两个方向：

A包含B。
B包含A。

咱们已经说过NP包含了P。由于任何一个非肯定性机器，都能被当成一个肯定性的机器来用。你只要不使用它的“超能力”，在每一个分支点只探索一条路径就行。

因此 "P=NP" 就在于P是否也包含了NP。也就是说，若是只使用肯定性计算机，可否在多项式时间以内，解决全部非肯定性计算机能在多项式时间内解决的问题。

系列文章入口

我是陈星星，欢迎阅读我亲自写的 数据结构和算法(Golang实现)，文章首发于阅读更友好的GitBook。