数据结构与算法--复杂度

复杂度

​ 复杂度也叫渐进复杂度，包括时间复杂度和空间复杂度，用来分析算法执行效率与数据规模之间的增加关系。

​ 复杂度分析能够在初期帮助程序员预估该程序的性能耗费。

​ 时间复杂度用于表示算法的时间耗费与数据规模增加之间的关系

​ 空间复杂度用于表示算法的存储空间与数据规模增加之间的关系

时间复杂度

规则

1. 总复杂度等于量级最大的那段代码的复杂度，好比说一个程序中存在两段不一样时间复杂度的代码块：

   int f(int n) {
     	int sum = 0;
       
       for (int i = 0; i < n; ++i) {
       	sum ++;
       }
     
     	for (int i = 0; i < n; ++i) {
       	for (int j = 0; j < n; ++j) {
               sum ++;
           }
    	} 
       
       return sum;
    }
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   第一个for循环的时间复杂度T1，和第二个嵌套for循环的时间复杂度T2分别为：

   那么整个程序的时间复杂度为：

2. 若是量级大的代码块有多个，而咱们没法事先评估谁的量级大，就不能简单地省略其中一个，例如：

   int f(int n, int m) {
     	int sum = 0;
     
     	for (int i = 0; i < n; ++i) {
      		sum ++;
    	} 
    	
    	for (int i = 0; i < m; ++i) {
    		sum ++;
    	}
        
   	return sum;
    }
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   该函数的时间复杂度为：

3. 乘法法则： 嵌套代码的复杂度等于嵌套内外代码复杂度的乘积，例如：

   int f(int n, int m) {
     	int sum = 0;
     
     	for (int i = 0; i < n; ++i) {
       	for (int j = 0; j < m; ++j) {
               sum += j;
           }
    	} 
        
   	return sum;
    }
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   该函数的时间复杂度为：

常见的时间复杂度

​ 对于常量复杂度而言，执行时间不随 n 的增大而增加的代码，咱们都记做 O(1) 。 通常状况下，只要算法中不存在循环语句、递归语句，即便有成千上万行的代码，其时间复杂度也是Ο(1)

​ 对于对数阶复杂度而言， 无论是以 2 为底、以 3 为底，仍是以 10 为底，咱们能够把全部对数阶的时间复杂度都记为O(logn)

​ 对于指数阶、阶乘阶复杂度而言， 当数据规模 n 增大，算法的执行时间会急剧增长 ，所以这两类时间复杂度的算法是很是低效的算法不推荐使用

最好、最坏、平均时间复杂度

​ 上述状况是程序必须执行完全部代码得出的时间复杂度。而在不少状况下，咱们不须要进行完整的遍历或递归，例如查找一个数组中是否存在5：

int val[n];

bool find() {
	for (int i = 0; i < n; i++) {
		if (val[i] == 5) {
			return true;
		}
	}
	
	return false;
}
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​ 最好状况时间复杂度是最理想状况下执行这段代码的时间复杂度，体如今上述代码中，就是数组第一个元素是5，所以最好状况时间复杂度为O(1)

​ 最坏状况时间复杂度是最糟糕状况下执行这段代码的时间复杂度 ，体如今上述代码中，就是数组中不存在元素5，所以最坏状况时间复杂度为O(n)

​ 平均状况时间复杂度是考虑全部可能发生的状况、几率、以及对应耗费的时间，而后取平均值，体如今上述代码中，就是考虑n+1种状况(5出如今0~n-1位置 和 5没有出现)及其几率、对应耗费的时间，获得：

​ 因为时间复杂度能够省略掉系数、低阶、常量，把这个公式简化以后获得的平均时间复杂度就是 O(n)

空间复杂度

规则

​ 规则与时间复杂度的三点相似，再也不赘述

​ 咱们能够经过空间复杂度，来预估程序所耗费的内存。好比：

const int N = 1000000;

int[] val = new int[N];
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​ int型占四字节，对于O(n)空间复杂度的程序来讲，当n为1e6时，耗费的内存为：

常见的空间复杂度

​ 比较常见的空间复杂度有：

​ 相比时间复杂度, O(logn)、O(nlogn)等对数阶复杂度平时几乎用不到~