OpenGL投影矩阵的构造

参考：

http://www.songho.ca/opengl/gl_projectionmatrix.html

3D空间中的对象，最终显示在屏幕上，须要进行一系列的矩阵变化，将其从世界空间，转化到屏幕上。

坐标的具体转化过程是：

世界坐标world---->视坐标eye-----》不一样的投影方法（平行投影，透视投影）投影面上坐标--->正则坐标（将可视体转化成2*2*2的正方体）---->屏幕坐标（像素点）

其中modelView矩阵 将世界坐标转化到eye坐标，  而projection矩阵将视坐标转化到正则坐标， 以后的像素生成不禁咱们控制。

Opengl使用的矩阵和通常数学中使用的矩阵不一样，二者互为转置（transpose）， 这有点相似于2维数组存储时行有先仍是列优先的问题， 普通是行优先， 而OPENGL采用的是列优先的存储方式。（详细见数据结构---数组---多维数组的存储方式）

有了以上讨论，要构造一个投影矩阵就须要知道：

   采用的投影方法， 如何转化到正则坐标

照相机的坐标系：照相机在原点， 面朝Z负方向， 向上是y轴。

可视体：平行投影中是一个和照相机坐标轴平行的立方体， 由left right bottom top near 和 far 6个值来定义， 其中near表示 近平面距离照相机的位置， far表示远平面距离照相机的距离

下图是一个平行投影的可视体。

1：平行投影

        对于任意在这个可视体中的点，咱们须要将其转化到一个正则可视体的坐标系中2*2*2

        即将[left, right]->[-1, 1]  [-near, -far]-->[-1, 1]  [bottom, top]->[-1, 1]

        假设点的eye坐标： xe ye ze we

        则正则坐标  xn yn zn wn

        其中wn 应该是1 表示没有透视效果

        xn = (1-(-1))/(R-L)*(xe-L)+-1

        yn = (1-(-1))/(T-B)*(ye-B) + -1 

        zn = (1-(-1))/(-F-(-n))*(ze-(-n)) + -1

        wn = 1

         

        xn = 2/(R-L)*xe- (R+L)/(R-L)

        yn = 2/(T-B)*ye-(T+B)/(T-B) 

        zn = 2/(N-F)*ze - (-F+-N)/(N-F)

       wn = 1

       一般视坐标中的we = 1

       因此数学上的投影矩阵形式是：

      2/(R-L)       0         0       -(R+L)/(R-L)

      0           2/(T-B)     0       -(T+B)/(T-B)

      0                0     2/(N-F)      (F+N)/(N-F)

      0                0          0                1               

      

2： 透视投影

        透视投影须要首先将视坐标转化到可视体的近面上， 接着再进行正则化。

       

            所以有3钟坐标：

           xe ye ze we  视坐标

           xp yp zp wp 近平面投影坐标

           xc yc zc wc 切割空间坐标

           xn yn zn wn 正则坐标

           由于透视投影有近大远小的特色，须要引入切割空间坐标 用于转化到 正则坐标 xn = xc/wc  yn = yc/wc  zn = zc/wc

            其中wc 和 ze 相关:  wc = -ze  

            而投影矩阵 * 视坐标的结果是 切割空间坐标  即： projectionMatrix * (xe, ye, ze, we) = (xc, yc, zc, wc)

     

第一步：

           缩放x y 方向           

           xp = -n/ze * xe

           yp = -n/ze * ye

第二步 正则化 可视体：          

          设近平面的 范围是 Left  Right Bottom Top

           两个平面的z位置是  [-Near,   -Far]

          因此 [L, R] ->[-1, 1]  [B, T]--->[-1, 1]  [-N, -F]--->[-1, 1]

           相似于平行投影咱们获得 xn xp yn yp zn ze 之间的关系,   须要注意zn 是和 ze 之间存在关系， 由于ze范围才是在[-N, -F] 

           xn = 2/(R-L)*xp- (R+L)/(R-L)

           yn = 2/(T-B)*yp-(T+B)/(T-B) 

           zn = zc/wc 

           zc 和 ze 之间的关系不明确， 可是必须是线性关系  即 zc = A*ze + B*xe + C*ye + D*we

计算xn yn 和 xe ye 的关系： 将1/-ze 提出来， 做为wc 坐标缩放因子

           xn = (2/(R-L)*n*xe+(R+L)/(R-L)*ze ) / -ze

           yn = (2/(T-B)*n*ye+(T+B)/(T-B)*ze)/ -ze

           因此

               xc = 2/(R-L)*n*xe+(R+L)/(R-L)*ze 

              yc = 2/(T-B)*n*ye+(T+B)/(T-B)*ze

              wc = -ze

 初步的投影矩阵 xe ye we  xc yc wc 的关系是：                   

            2/(R-L)*n          0               (R+L)/(R-L)       0

            0                  2/(T-B)*n       (T+B)/(T-B)        0

            ?                          ?                       A                B

             0                        0                       -1                0

而ze 和 zc之间存在关系   zc 和 xe， ye 之间是独立的， 因此上面的投影矩阵的第3行前两列为0, 后两列 系数是 A B  

           zn = (Aze + Bwe)/wc = (Aze+B)/ -ze  视坐标的we = 1

           根据[-N, -F] ---> [-1, 1] 的正则关系

           -1 = (A*-N+B)/ N

            1 = (A*-F+B) /  F

           A*-N + B = -N

           A*-F + B = F

          determ = F-N

          A = -(N+F)/(F-N)

          B = -2NF/(F-N)   

          zn = Aze+B/-ze  =  -A + B/-ze = (N+F)/(F-N) - B/ze            zn的值最后将存储在深度缓存中， 取值范围[-1, 1]

         设 F-N = diff           zn = 2N/diff + 1 + 2NF/(diff*ze)

         其中 ze [-N, -F], ze 越靠近 -F 则zn 变化率越小 d(zn)/d(ze) = -2NF/(diff*ze*ze)

因此获得了整个透视投影矩阵：

         求解矩阵采用待定系数法， 已知 坐标轴之间的独立关系， 以及变换后 取值范围的关系， 求解系数。