用程序表示的展转相除法——求最大公约数

线段上格点的个数

  给定平面上两个格点 $P_1=(x_1,y_1)$和 $P_2=(x_2,y_2)$，线段P₁P₂上，除P₁和P₂之外一共又几个格点？

限制条件

• $-10^9 \le x_1,x_2,y_1,y_2 \le 10^9$

输入

P1 = （1，11），P2  = （5，3）

输出

（2，9）、（3，7）、（四、5）

答案是 $|x_1-x_2|$和 $|y_1-y_2|$的最大公约数-1(当作一个结论来记吧，我也不知道咋来的)
 
主题

计算最大公约数——展转相除法

设 $gcd(a,b)$是计算天然数a和b的最大公约数的函数，a除以b获得的商和余数分别为p和q。由于 $a=b\times p-q$，因此 $gcd(b,q)$既整除a又整除b（假设 $gcd(b.q)$求得的结果记做r，即b与q的最大公约数是r，便可表示为 $b\%r==0 , q\%r==0$），又 $a=b\times p-q$，因此 $a\div r == \frac{b\times p - q}{r} \rightarrow \frac{b}{r}\times p-\frac{q}{r}$，因此得出 $gcd(b.q)$的结果既能整除a又能整除b，也就能整除 $gcd(a,b)$。反之，由于 $q = a-b\times p$，同理可证 $gcd(a,b)$整除 $gcd(b,q)$。所以能够知道 $gcd(a,b)==gcd(b,a\%b)$。不断这样操做下去，因为gcd的第二个参数老是不断缩小的，最终会获得 $gcd(a,b)==gcd(c,0)$。0和c的最大公约数是c，因此 $gcd(c,0)==c$，这样就计算出了 $gcd(a,b)$。程序实现以下：
 

int gcd(int a,int b)
{
	if(b==0) return a;
	return gcd(b,a%b);
}
// 或者是这样
int gcd(int a,int b)
{
	return b?gcd(b,a%b):a;
}