罗尔中值定理 拉格郎日中值定理

1.费马引理

      

证实：设x属于U(x0)    =>   f(x)<=f(x0)

         对 x+Δx属于U(x0) => f(x+Δx)<= f(x0)

        当Δx>0时： [f(x0+Δx)-f(x0)]/Δx <= 0;

        当Δx<0时： [f(x0+Δx)-f(x0)]/Δx <= 0;

则有：

        

       

根据可导的条件：左导等于右导   因此f'(x0)=0;

2.罗尔定理

证实：

由于函数 f(x) 在闭区间[a,b] 上连续，因此存在最大值与最小值，分别用 M 和 m 表示，分两种状况讨论：

1. 若 M=m，则函数 f(x) 在闭区间 [a,b] 上必为常函数，结论显然成立。

2. 若 M>m，则由于 f(a)=f(b) 使得最大值 M 与最小值 m 至少有一个在 (a,b) 内某点ξ处取得，从而ξ是f(x)的极值点，又条件 f(x) 在开区间 (a,b) 内可导得，f(x) 在 ξ 处取得极值，由费马定理推知：f'(ξ)=0。

3.拉格朗日中值定理

 

证实：1.能够从新构建一个坐标系，使f(b) = f（a）  ,即转化为罗尔定理。

2.构造一个函数

辅助函数构造：

须要的元素 1.须要和f(x)相关   2.最好能含有  f(b)-f(a)/b-a的形式

                  3.函数a b 两点的值相等

看一下几何图：f(x) - AB直线 ， 的值恰好能知足   好吧  就是你了  接下去直接求导使用罗尔定理就好了