罗尔定理、微分中值定理、广义微分中值定理

若是一个到处可导的函数的图像和一条水平直线交于不一样的两点（如图所示），

那么在这两点间的函数图像上至少存在一点处的切线平行于该水平直线（显然也平行于x轴），这种现象能够更严谨地表述为罗尔定理（Rolle’s Theorem¹）：若是函数f(x)在[a,b]上连续，(a,b) 上可导，而且f(a)=f(b)，那么至少存在一点c于(a,b)内使得f’(c)=0。

上面说到的平行关系在罗尔定理中是这样体现的：由于f(a)=f(b)，因此(a,f(a))和(b,f(b))能够肯定一条水平直线，由于f’(c)=0，因此函数f(x)在(c,f(c))处的切线也是一条水平直线，很显然这两条直线平行。

罗尔定理的证实要求的是关于导数等于0的结论，我想到的是：（1）若是f(x)是常数函数的话，那么定义域内任意一点的导数都为0；（2）可导的函数在极值点处导数为0。因此这里证实的难点是：若是f(x)不是常数函数，那么该怎么证实其有极值存在于(a,b)内呢？若能证实之，则罗尔定理得证。若是f(x)不是常数函数，由于f(x)在[a,b]上连续，那么在该区间上面必然存在极大值和极小值，假设极大值和极小值均在端点处取得，再加上本定理的条件已经声明f(x)在两端点处的值相等（即f(a)=f(b)），可得出这种状况下函数的极大值等于极小值，这样的函数显然是常数函数，这与开头的假设“f(x)不是常数函数”相悖，因此f(x)不是常数函数状况下其极大值和极小值不可能都在端点处取得——至少存在一个极值点于(a,b)内，又由于f(x)在 (a,b) 上可导，因此该处函数导数为0。下面是个人证实过程：由于f(x)在[a,b]上连续，那么在该区间上面必然存在极大值和极小值。其极值的分布状况只有两种可能：（1）若f(x)的极值至少有一个在(a,b)内取得，设该极值点的横坐标为c，由于f(x)在 (a,b) 上可导，因此有f’(c)=0；（2）若f(x)的极值均不在(a,b)内取得——极值均在端点处取得，这两个极值分别是f(a)和f(b)，因为本定理的条件中已经声明f(x)在两端点处的值相等（即f(a)=f(b)），可知函数的极大值等于极小值，这样的函数显然是常数函数，那么于(a,b)内的任何一点c都有f’(c)=0。综上，至少存在一点c于(a,b)内使得f’(c)=0，罗尔定理得证。

上面的证实思路和我分析问题的思路是有差异的，证实过程是对我分析问题的思路的整合与升华，借此顺便一提：书上的证实过程未必和咱们解决问题的思路一致，诸位留意！

罗尔定理要求“函数f(x)在[a,b]上连续，(a,b) 上可导”，这两个条件总让我感受有些憋扭，由于f(x)在 (a,b) 上可导的话就必定可得出f(x)在 (a,b) 上连续，因而可把条件转化为“函数f(x)在(a,b) 上可导，在a、b两点处连续”，但感受仍是不够简洁，为何不直接把条件简单地限制为“函数f(x)在[a,b]上可导”呢？在这个条件下必定会有“函数f(x)在[a,b]上连续，(a,b) 上可导”，后来我想到不作这种简化的缘由多是：函数在a、b两端点处的导数多是+∞或-∞——不可导，在这种状况下若是把“函数f(x)在[a,b]上连续，(a,b) 上可导”简化成“函数f(x)在[a,b]上可导”就会使罗尔定理不适用于下面这种状况²（该函数在-1和1处不可导）：

认识到这种情形以后，咱们能够有一个适用范围小一点但同时也更简洁的罗尔定理：若是函数f(x)在[a,b]上可导，而且f(a)=f(b)，那么至少存在一点c于(a,b)内使得f’(c)=0。

若是函数f(x)在[a,b]上不连续，那么罗尔定理可能不成立，如图所示：

若是函数f(x)在(a,b)上不可导，那么罗尔定理可能不成立，如图所示：

上面两图意在让各位认识到罗尔定理的成立条件的必要性。

若一条直线和到处可导的函数f(x)的图像交于(a,f(a))和(b,f(b))两点，将该直线上下平移，那么总存在该直线和函数f(x)的图像相切的情形，

这种现象能够更严谨地表述为微分中值定理（亦称拉格朗日中值定理，the mean value theorem of the differential calculus）：若是函数f(x)在[a,b]上连续，(a,b) 上可导，那么至少存在一点c于(a,b)内使得\(f^{'}\left( c \right) = \frac{f(b) - \ f(a)}{b - a}\)。

微分中值定理能够看做是罗尔定理旋转后的情形³——可设想把知足罗尔定理的图像旋转一个角度后，那么原来过(a,f(a))和(b,f(b))的水平直线变成了斜率为\(\frac{f(b) - \ f(a)}{b - a}\)的直线，而那条切线始终与之平行，因此斜率（该点的导数）依然等于\(\frac{f(b) - \ f(a)}{b - a}\)。

微分中值定理也能够用罗尔定理来证实，以下：

过(a,f(a))和(b,f(b))的直线的方程是\(g\left( x \right) = f\left( a \right) + \frac{f\left( b \right) - \ f\left( a \right)}{b - a}(x - a)\)，f(x)和g(x)的纵向差距可表示为\(h\left( x \right) = f\left( x \right) - g\left( x \right) = f\left( x \right) - f\left( a \right) - \frac{f\left( b \right) - \ f\left( a \right)}{b - a}(x - a)\)，由于f(x)和g(x)的图像在两端点处相交，因此h(a)=h(b)=0，同时不可贵出h(x)在[a,b]上连续，(a,b) 上可导，因此h(x)知足罗尔定理，于是存在一点c于(a,b)内使得\(h’(c) = 0 = f'\left( c \right) - \frac{f\left( b \right) - \ f\left( a \right)}{b - a}\)，进而可得出\(f^{'}(c) = \frac{f\left( b \right) - \ f\left( a \right)}{b - a}\)，微分中值定理得证。

做为微分中值定理的应用，咱们能够考虑这样一种情形：假如一辆车作变速运动，一小时行了20km，若是f(x)是车的位移函数、f(0)=0、f(1)=20，微分中值定理告诉咱们在这一小时内必然有一刻车速为\(\frac{f\left( 1 \right) - \ f\left( 0 \right)}{1 - 0} = \frac{20 - 0}{1 - 0} = 20(km/h)\)。若是你对此仍怀疑，那么请设想其反面：若这一小时内车速始终大于或小于20km/h会出现什么状况？……因此这一小时内车速绝对会有一刻为20km/h。

对比一下微分中值定理和罗尔定理的差别，咱们不难发现微分中值定理能够囊括罗尔定理的情形——微分中值定理中f(a)=f(b)的时候它便退化成了罗尔定理，也就是说微分中值定理具备更广泛的适用范围。如今让咱们来看一个更广义的微分中值定理⁴（亦称柯西中值定理，Generalized Mean Value Theorem of the Differential Calculus）：若是f(x)和g(x)都在[a,b]上连续，(a,b) 上可导，那么至少存在一点c于(a,b)内使得

\[\left\lbrack f\left( b \right) - f\left( a \right) \right\rbrack g^{'}\left( c \right) = \left\lbrack g\left( b \right) - g\left( a \right) \right\rbrack f^{'}\left( c \right).\]

若是在(a,b)上\(g^{'}\left( x \right) \neq 0\)，那么有

\[\frac{f'(c)}{g^{'}\left( c \right)} = \frac{f(b) - f(a)}{g\left( b \right) - g\left( a \right)}.\]

为何说该定理是更广义的微分中值定理呢？微分中值定理就是上面这个等式中令g(x)=x的情形⁵。至于广义微分中值定理的证实，咱们只用令\(h\left( x \right) = \left\lbrack f\left( b \right) - f\left( a \right) \right\rbrack g\left( x \right) - \left\lbrack g\left( b \right) - g\left( a \right) \right\rbrack f\left( x \right)\)，而后对其应用微分中值定理便不可贵证。

下一节我会讲到洛必达法则（L’Hospital’s rule），我将向各位提供能够理解掌握的、能从中吸收到有用经验的∞/∞型洛必达法则的证实方法，敬请期待！

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1. Joel R. Hass, Christopher E. Heil, Maurice D. Weir ,Thomas’ calculus, 14^th^ edition, p191↩

2. Joel R. Hass, Christopher E. Heil, Maurice D. Weir ,Thomas’ calculus, 14^th^ edition, p193↩

3. Morris Kline, Calculus : an intuitive and physical approach, second edition, Chapter 13，Section 2↩

4. Stephen Abbott, Understanding Analysis, second edition, p158↩

5. 常庆哲、史济怀，《数学分析教程》上册（2003），p155↩