降维算法-PCA主成分分析

一、PCA算法介绍
主成分分析（Principal Components Analysis），简称PCA，是一种数据降维技术，用于数据预处理。通常咱们获取的原始数据维度都很高，好比1000个特征，在这1000个特征中可能包含了不少无用的信息或者噪声，真正有用的特征才100个，那么咱们能够运用PCA算法将1000个特征降到100个特征。这样不只能够去除无用的噪声，还能减小很大的计算量。

PCA算法是如何实现的？

简单来讲，就是将数据从原始的空间中转换到新的特征空间中，例如原始的空间是三维的(x,y,z)，x、y、z分别是原始空间的三个基，咱们能够经过某种方法，用新的坐标系(a,b,c)来表示原始的数据，那么a、b、c就是新的基，它们组成新的特征空间。在新的特征空间中，可能全部的数据在c上的投影都接近于0，便可以忽略，那么咱们就能够直接用(a,b)来表示数据，这样数据就从三维的(x,y,z)降到了二维的(a,b)。

问题是如何求新的基(a,b,c)?

通常步骤是这样的：先对原始数据零均值化，而后求协方差矩阵，接着对协方差矩阵求特征向量和特征值，这些特征向量组成了新的特征空间。具体的细节，推荐Andrew Ng的网页教程：Ufldl 主成分分析 ，写得很详细。

（1）零均值化

假如原始数据集为矩阵dataMat，dataMat中每一行表明一个样本，每一列表明同一个特征。零均值化就是求每一列的平均值，而后该列上的全部数都减去这个均值。也就是说，这里零均值化是对每个特征而言的，零均值化都，每一个特征的均值变成0。实现代码以下：

1 def zeroMean(dataMat):      
2     meanVal=np.mean(dataMat,axis=0)     #按列求均值，即求各个特征的均值
3     newData=dataMat-meanVal
4     return newData,meanVal

函数中用numpy中的mean方法来求均值，axis=0表示按列求均值。

该函数返回两个变量，newData是零均值化后的数据，meanVal是每一个特征的均值，是给后面重构数据用的。

（2）求协方差矩阵

1    newData,meanVal=zeroMean(dataMat)
2    covMat=np.cov(newData,rowvar=0)

numpy中的cov函数用于求协方差矩阵，参数rowvar很重要！若rowvar=0，说明传入的数据一行表明一个样本，若非0，说明传入的数据一列表明一个样本。由于newData每一行表明一个样本，因此将rowvar设置为0。
covMat即所求的协方差矩阵。

（3）求特征值、特征矩阵
调用numpy中的线性代数模块linalg中的eig函数，能够直接由covMat求得特征值和特征向量：

1 eigVals,eigVects=np.linalg.eig(np.mat(covMat))

eigVals存放特征值，行向量。
eigVects存放特征向量，每一列带别一个特征向量。
特征值和特征向量是一一对应的

（4）保留主要的成分[即保留值比较大的前n个特征]
第三步获得了特征值向量eigVals，假设里面有m个特征值，咱们能够对其排序，排在前面的n个特征值所对应的特征向量就是咱们要保留的，它们组成了新的特征空间的一组基n_eigVect。将零均值化后的数据乘以n_eigVect就能够获得降维后的数据。代码以下：

1     eigValIndice=np.argsort(eigVals)            #对特征值从小到大排序
2     n_eigValIndice=eigValIndice[-1:-(n+1):-1]   #最大的n个特征值的下标
3     n_eigVect=eigVects[:,n_eigValIndice]        #最大的n个特征值对应的特征向量
4     lowDDataMat=newData*n_eigVect               #低维特征空间的数据
5     reconMat=(lowDDataMat*n_eigVect.T)+meanVal  #重构数据
6     return lowDDataMat,reconMat

代码中有几点要说明一下，首先argsort对特征值是从小到大排序的，那么最大的n个特征值就排在后面，因此eigValIndice[-1:-(n+1):-1]就取出这个n个特征值对应的下标。【python里面，list[a:b:c]表明从下标a开始到b，步长为c。】

reconMat是重构的数据，乘以n_eigVect的转置矩阵，再加上均值meanVal。

OK，这四步下来就能够从高维的数据dataMat获得低维的数据lowDDataMat，另外，程序也返回了重构数据reconMat，有些时候reconMat课便于数据分析。

贴一下总的代码：

 1 #零均值化
 2 def zeroMean(dataMat):      
 3     meanVal=np.mean(dataMat,axis=0)     #按列求均值，即求各个特征的均值
 4     newData=dataMat-meanVal
 5     return newData,meanVal
 6  
 7 def pca(dataMat,n):
 8     newData,meanVal=zeroMean(dataMat)
 9     covMat=np.cov(newData,rowvar=0)    #求协方差矩阵,return ndarray；若rowvar非0，一列表明一个样本，为0，一行表明一个样本
10     
11     eigVals,eigVects=np.linalg.eig(np.mat(covMat))#求特征值和特征向量,特征向量是按列放的，即一列表明一个特征向量
12     eigValIndice=np.argsort(eigVals)            #对特征值从小到大排序
13     n_eigValIndice=eigValIndice[-1:-(n+1):-1]   #最大的n个特征值的下标
14     n_eigVect=eigVects[:,n_eigValIndice]        #最大的n个特征值对应的特征向量
15     lowDDataMat=newData*n_eigVect               #低维特征空间的数据
16     reconMat=(lowDDataMat*n_eigVect.T)+meanVal  #重构数据
17     return lowDDataMat,reconMat

三、选择主成分个数
文章写到这里尚未完，应用PCA的时候，对于一个1000维的数据，咱们怎么知道要降到几维的数据才是合理的？即n要取多少，才能保留最多信息同时去除最多的噪声？通常，咱们是经过方差百分比来肯定n的，这一点在Ufldl教程中说得很清楚，而且有一条简单的公式，下面是该公式的截图：

 

根据这条公式，能够写个函数，函数传入的参数是百分比percentage和特征值向量，而后根据percentage肯定n，代码以下：

 1 def percentage2n(eigVals,percentage):
 2     sortArray=np.sort(eigVals)   #升序
 3     sortArray=sortArray[-1::-1]  #逆转，即降序
 4     arraySum=sum(sortArray)
 5     tmpSum=0
 6     num=0
 7     for i in sortArray:
 8         tmpSum+=i
 9         num+=1
10         if tmpSum>=arraySum*percentage:
11             return num

那么pca函数也能够重写成百分比版本，默认百分比99%。

 1 def pca(dataMat,percentage=0.99):
 2     newData,meanVal=zeroMean(dataMat)
 3     covMat=np.cov(newData,rowvar=0)    #求协方差矩阵,return ndarray；若rowvar非0，一列表明一个样本，为0，一行表明一个样本
 4     eigVals,eigVects=np.linalg.eig(np.mat(covMat))#求特征值和特征向量,特征向量是按列放的，即一列表明一个特征向量
 5     n=percentage2n(eigVals,percentage)                 #要达到percent的方差百分比，须要前n个特征向量
 6     eigValIndice=np.argsort(eigVals)            #对特征值从小到大排序
 7     n_eigValIndice=eigValIndice[-1:-(n+1):-1]   #最大的n个特征值的下标
 8     n_eigVect=eigVects[:,n_eigValIndice]        #最大的n个特征值对应的特征向量
 9     lowDDataMat=newData*n_eigVect               #低维特征空间的数据
10     reconMat=(lowDDataMat*n_eigVect.T)+meanVal  #重构数据
11     return lowDDataMat,reconMat