ROS系统MoveIt玩转双臂机器人系列（五）--浅议机器人运动学与D-H建模

1、概述

 　　机器人运动学研究的是机械臂各个连杆之间的位移关系、速度关系和加速度关系。比较经典的一本书推荐你们读读熊有伦的《机器人技术基础》下载网址在这。本篇博文将从刚体的位姿描述讲起，逐步过渡到D-H法运动学建模的方法与步骤，结合前几篇博客所树的Rob机器人的手臂创建D-H运动学模型，并编写一个逆运动学运动学求解的程序。

　　（1）位姿描述

　　咱们知道，刚体在世界坐标系里须要经过位置和姿态两个维度来描述。首先，位置描述很容易理解，就是坐标，例如点P的位姿经过坐标Px，Py，Pz来描述，以下所示。

　　目前它是三维形式，可是咱们须要在其下面添加一维，使其变为四维形式，以下所示，这就是齐次坐标，多增长的这一维 ω 称为比例因子，这里取1。

 　　姿态的描述的描述相对复杂一些，它表征的是刚体相对于世界坐标系的旋转状况，咱们首先须要在刚体上添加一个坐标系，用这个坐标系的姿态来表明刚体的姿态，如图一所示，在世界坐标系中的刚体，咱们创建坐标系X'，Y'，Z'，而后分别额在这个坐标系上取单位失向量n，o，b。

 

图1

 　　刚体上的每一个坐标轴 X'，Y'，Z' 都和世界坐标轴 X, Y, Z 之间在空间上存在夹角，咱们以这些夹角为基础对其姿态进行描述，便获得下面这个式子，矩阵 R 就是刚体相对于世界坐标系的姿态描述。此外还有其余的描述方法，好比欧拉角描述方法，四元数描述方法等。

 　　咱们将上面的 R 矩阵由三行三列的矩阵变换为四行三列的矩阵，最后一行补零，就获得了刚体姿态的其次矩阵，而后在将位置齐次矩阵加入进来组成四行四列的矩阵，就是刚体位姿描述的总体矩阵：T（也能够称为转换矩阵），以下式：

　　咱们也能够将其理解为这是相邻的两个坐标系之间的转换关系或相对关系，只是这个相对关系经过位置和姿态两个维度来描述的。咱们的机械臂是由一系列杆件和运动关节组成，若是咱们以必定的规则在机械臂的关节处创建坐标系，就获得一系列的坐标系，如图2所示，若是咱们又知道这一系列坐标系中每相邻两个的转换关系（即转换矩阵），那么经过推导咱们就知道了首位两个坐标系之间的转换关系了，从而就能够实现机械臂的运动学描述了。

图2

　　

　　（2）正逆运动学

　　咱们知道机器人运动学研究的是连杆之间的位移关系、速度关系和加速度关系，它又分为正运动学和逆运动学。

　　正运动学：知道机械臂各个关节的关节变量（如每一个转动关节转了多少度，移动关节移动了对少距离）推导出末端执行器相对于世界坐标系的位姿关系（坐标系n相对坐标系0）。（解决的是我在哪的问题）

　　逆运动学：知道末端执行器相对于世界坐标系的位姿关系（坐标系n相对坐标系0），推导出要到达这个位姿械臂各个关节的关节变量（如每一个转动关节须要转多少度，移动关节须要移动多少距离）。（解决的是如何到那的问题）

 二、D-H法

 　　经过第一部分咱们就能够分析知道，所谓的机器人运动学建模通俗讲分为如下几个步骤：

　　1. 以必定的规则在机械臂上建立一系列的坐标系。

　　2. 经过这些坐标系中每相邻两个坐标系之间的关系推导出最后一个坐标系（坐标系n）相对于第一个坐标系（坐标系0）的转换关系（转换矩阵）。

　　3. 经过这个转换关系得到机械臂正运动学矩阵。

　　4. 经过正运动学矩阵得到逆运动学的求解方法。

　　具体以什么样的规则建立坐标系？如何才能快速得到两个相邻坐标系之间的转换关系？如何求取逆运动学解？这一些列问题早在1995年两位前辈就给出了答案（膜拜，经典的东西每每经久不衰），它们就是 Denavit 和 Hartenberg，（业内简称D-H法）下面咱们一步步看看它们如何解决这些问题的。

（1）描述连杆和连杆链接的参数

 　　上述两位大师将相邻两个连杆（刚体）之间的关系简化成4个参数来描述，其中另个参数用来描述连杆，两个参数用来描述两个连杆的链接关系，先来讲说描述连杆的两个参数：ai-1 和 αi-1 ，如图3所示。

图3

　　Link length 连杆长度 ai-1 ，关节轴 i-1 和关节轴 i 之间的公垂线（图3红色直线）的长度ai-1。

　　Link twist   连杆转角 αi-1，假设做一个平面,并使该平面与两关节轴之间的公垂线垂直（图3粉红色平面）,而后把关节轴 i-1 和关节轴 i 投影到该平面上,在平面内轴 i-1 按照右手法则转向轴 i ，测量两轴角之间的夹角为αi-1.

　　再看一下描述两个连杆的链接关系的两个参数 di 和 θi，如图4所示。

图4

　　link offset 连杆偏距 di，相邻两个连杆之间有一个公共的关节, 沿着两个相邻连杆公共法线（图4两条黄线）的距离能够用一个参数描述为连杆偏距di。（当 i 为移动关节时,连杆偏距为一变量）

 　　joint angle 关节角 θi， 两个相邻连杆的两条公共法线（图4两条黄线）绕公共轴线（图4红色轴线）旋转的夹角（图4蓝色夹角） θi。

　　用这四个参数就能够完成相邻两个连杆（刚体）之间的关系的描述。

（2）在机械臂上创建坐标系

　　Denavit 和 Hartenberg 肯定了连杆关系的描述方法以后，又制定了坐标系的创建规则，长坐标系{0}到坐标系{n}的肯定步骤以下：

　　a. 肯定关节轴，并画出轴的延长线。

　　b. 找出关节轴 i -1 和 i 的公垂线（图3红色直线）关节轴 i -1 的交点 ，做为坐标系 i-1 的原点 Oi-1。

　　c. 规定 Zi-1 的指向是沿着第 i-1 个关节轴。

　　d. 规定 Xi-1 轴的指向是沿着轴 i-1 和 i 的公垂线（图3红色直线）的方向，若是关节轴 i-1 和 i 相交，则Xi-1轴垂直于关节轴 i-1 和 i 所在的平面。

　　e. Yi-1轴的方向由右手定则肯定 Yi-1 =  Zi-1 × Xi-1 。

 　　此外，对于坐标系{0} ，Z0轴沿着关节轴1的方向,当坐标系{1}的关节变量为0时，设定参考坐标系{0}与{1}重合，且a0=0, α0=0，当关节1为转动关节，d1=0；当关节1为移动关节，θ1=0。

　　坐标系{n} 一般规定:　　　

　　　　对于转动关节 n，设定θn=0，此时 Xn 和 Xn-1 轴的方向相同，选取坐标系{n} 的原点位置,使之知足 dn=0;
　　　　对于移动关节 n， 设定Xn轴的方向使之知足θn=0，当dn=0时,选取坐标系{n} 的原点位于Xn-1轴与关节轴n的交点位置。

 （3）根据机械臂上所创建的坐标系肯定描述连杆和连杆链接的参数

　　创建完坐标系之后，就须要根据坐标系来肯定小节（1）中所说的描述连杆和连杆链接的四个参数，因为咱们是根据特定规则来创建的坐标系，因此咱们很容易获得四个参数，获得的方法如图5所示。

图5

  三、Rob手臂的D-H法建模

 　　下面咱们解结合前面博文所介绍的Rob机器人的一个手臂，讲解如何在它的手臂上创建坐标系，得到描述参数，最后获得运动学关系，首先手臂的模型抽象以下图6所示。

图6

　　为了方便起见，咱们让手臂抬起来伸直，如图7所示，这样方便咱们创建坐标系，而后咱们按照第二部分的（2）小节介绍的方法创建坐标系，首先绘制关节轴线（关节转轴） i1 到 i5（图7中绿色虚线），而后根据规则肯定原点 O1 到 O6的位置，而后肯定每一个坐标系Z轴的方向（图7红色轴，和关节轴线共线），而后肯定各个坐标系的X轴，最后根据右手定则肯定各个坐标系的Y轴，此外各个连杆的物理尺寸如图7中的蓝色虚线所标识。

 

图7 （图画的太丑，没有美术细胞。。。-_-||）

 　　一旦肯定了坐标系，咱们根据第二部分的（3）小节中图5所示的法则就能够快速肯定每一个连杆（坐标系）之间的描述参数，以下表所示。

　　至此其实咱们已经获得了Rob手臂上的坐标系{0}到坐标系{6}之间每两个相邻坐标系的转换关系了，就是上表中 i 行的数据。可是拿到这些数据怎么转换成第一部分的（1）小节中所介绍的转换矩阵 T 呢？如何根据两个相邻坐标系的转换关系获得坐标系{6}到坐标系{0}的转换关系呢？又如何求取逆运动学解呢？这几个问题在下一篇博客中揭晓，并给出逆运动学求解的C++源代码。

 

<-- 本篇完 --> 

 

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