变换矩阵在左右坐标系的转换

时间 2019-11-17

原文原文链接

[TOC]bash

疑惑

Max导出的fbx模型文件加载到客户端，对变换矩阵作了以下的转换，把Z-up右手坐标系的变换矩阵换到Y-up左手坐标系的变换矩阵。咋一看至关懵逼~ui

FORCEINLINE void _DxMatrixToApexMatrix(physx::PxMat44& matrix, const XMFLOAT4X4& xmMatrix)
{
    XMFLOAT4X4 mat = xmMatrix;    

    std::swap(mat._21, mat._31);
    std::swap(mat._22, mat._32);
    std::swap(mat._23, mat._33);
    std::swap(mat._24, mat._34);

    std::swap(mat._12, mat._13);
    std::swap(mat._22, mat._23);
    std::swap(mat._32, mat._33);
    std::swap(mat._42, mat._43);

    memcpy((void*)matrix.front(), &mat._11, sizeof(float) * 16);    
}
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坐标系的不一样

max max里面是Z朝上的右手坐标系，如图(a)所示.spa
DX11 客户端用的DX11是Y轴朝上的左手坐标系，如图(b)所示.翻译

坐标系转换

错误的作法

一开始想的是把Y和Z换一下就行了，那么矩阵里面把第二行和第三行换一下不就好了。代码应该是这样：code

FORCEINLINE void _DxMatrixToApexMatrix(physx::PxMat44& matrix, const XMFLOAT4X4& xmMatrix)
{
    XMFLOAT4X4 mat = xmMatrix;    

    std::swap(mat._21, mat._31);
    std::swap(mat._22, mat._32);
    std::swap(mat._23, mat._33);
    std::swap(mat._24, mat._34);

    memcpy((void*)matrix.front(), &mat._11, sizeof(float) * 16);    
}
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结果为何还要换一下第二列和第三列呢？把Y和Z换一下这个是对的，好比一个向量(x, y, z)变成(x, z, y)。可是，变换矩阵却不能这样操做！个人理解是，矩阵里面有旋转、缩放、平移，针对的是模型上的全部点。只换第二行和第三行是包括了部分缩放和旋转信息，最后对模型上点进行转换的时候都不知道结果是什么。cdn

验证假设在Z-up右手坐标系有一个点P，和这个点的变换矩阵：

M =
\begin{bmatrix}
m_{11} & m_{12} & m_{13} & m_{14} \\
m_{21} & m_{22} & m_{23} & m_{24} \\
m_{31} & m_{32} & m_{33} & m_{34} \\
m_{41} & m_{42} & m_{43} & m_{44} \\
\end{bmatrix}

算一下点P在Z-up右手坐标系变换后的点，和点P1在Y-up左手坐标系变换后的点是否是依旧是同一个点！其中P1=(x, z, y)，为P在Y-up坐标系中相同的点，换了一下Y和Zblog

注意：在Y-up的变换矩阵下P也应该在该坐标系下面，即P1 = (x, z, y)get

（1）点P在Z-up右手坐标系变换以后的点为：P*M数学

$P*M = (x, y, z)M = (xm_{11}+ym_{21}+zm_{31}+m_{41}, xm_{12}+ym_{22}+zm_{32}+m_{42}, xm_{13}+ym_{23}+zm_{33}+m_{43})$

（2）点P在错误的Y-up左手坐标系变换以后的点为：P1*M1it

M1 =
\begin{bmatrix}
m_{11} & m_{12} & m_{13} & m_{14} \\
m_{31} & m_{32} & m_{33} & m_{34} \\
m_{21} & m_{22} & m_{23} & m_{24} \\
m_{41} & m_{42} & m_{43} & m_{44} \\
\end{bmatrix}

$P1*M1 = (x, z, y)M1 = (xm_{11}+zm_{31}+ym_{21}+m_{41}, xm_{12}+zm_{32}+ym_{22}+m_{42}, xm_{13}+zm_{33}+ym_{23}+m_{43})$

（3）点P在正确的Y-up左手坐标系变换矩阵变换以后的嗲哪位：P1*M2

M2 =
\begin{bmatrix}
m_{11} & m_{13} & m_{12} & m_{14} \\
m_{31} & m_{33} & m_{32} & m_{34} \\
m_{21} & m_{23} & m_{22} & m_{24} \\
m_{41} & m_{42} & m_{43} & m_{44} \\
\end{bmatrix}

$P1*M2 = (x, z, y)M2 = (xm_{11}+zm_{31}+ym_{21}+m_{41}, xm_{13}+zm_{33}+ym_{23}+m_{43}, xm_{12}+zm_{32}+ym_{22}+m_{42})$

小结：

（1）能够看到，PM和P1M2的结果换一下Y和Z轴就是同样的，这也说明M2才是正确的变换矩阵！

（2）同时，能够看到P1M1的结果和PM的结果是同样的，这就奇怪了，P1在Y-up左手坐标系用这个矩阵变换后又回到了Z-up右手坐标系里面的坐标（等于没有变换了）

原理

参考[1]中给出了说明，翻译一下以下：

M_YZ右手 = ...// 变换YZ坐标获得在Z-up右手坐标系的点
M_YZ左手 = 求逆(M_YZ右手)  // 变换YZ坐标从新获得在Y-up左手坐标系的坐标
M右手 = ...  // 在Z-up右手坐标系下的一个变换矩阵
M左手 = M_YZ右手 * M右手 * M_YZ左手
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简单说明一下：

理解上就是不能在不一样的坐标系下面矩阵变换。如今是已知在Z-up下面的变换矩阵，求在Y-up下面的变换矩阵。那么就先把点变换到Z-up右手坐标系中，进行矩阵变换，获得点在Z-up右手坐标系新的位置，而后再把这个点换YZ坐标从新获得在Y-up左手坐标系的坐标。
M_YZ右手指的是在Z-up右手坐标系里面的把Y和Z换一下，也就是把Z-UP右手坐标系里面的点变换到了Y-up左手坐标系里面的点

M_{YZ-Right} =
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 &1 \\
\end{bmatrix}

M_YZ左手是相反的操做，其实就是M_YZ右手的逆矩阵，而这里二者是相等的，简单验证就是 $M_{YZ-Left} * {M_{YZ-Right}}^{-1}$ 为单位矩阵

M_{YZ-Left} = {M_{YZ-Right}}^{-1} =
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 &1 \\
\end{bmatrix}

结论

数学大法好啊

参考

[1]Changing a matrix from right-handed to left-handed coordinate system