感知机整理笔记

基于《统计学习方法》的感知机内容以及本身的理解整理以下。

应用场景

按李航老师的定义：感知机(perceptron)是二分类的线性分类模型，其输入为实例的特征向量，输出为实例的类别(取+1 ，-1二值)，感知机对应于输入空间(特征空间)中将实例分为正负两类的分离超平面，属于判别模型。

使用场景较多，好比对网站某个广告位进行点击预估，就可使用感知机离线训练样本，特征空间就是样本用户的浏览点击行为等，样本类别就是用户属于曝光、曝光点击。

感知机是1957年Rosenblatt提出，是神经网络与支持向量机的基础，感知机虽然是线性分类模型，但多层感知机组成的神经网络能够处理非线性问题，神经网络的单个神经元就是感知机。

 

感知机数学定义

　　假设输入空间（特征空间），输出空间是，输入表示实例的特征向量，对应输入空间（特征空间）点；

输出表示实例的类别，输入空间到输出空间的映射函数称为感知机。

其中w b为模型参数，w*x表示内积，sign表示指示函数：

 

感知机几何解释

线性方程，对应于特征空间 Rⁿ    超平面S，S的法向量为w，S的截距为b。超平面S将特征空间分为两部分，位于两部分（特征空间）

的点分为正负两类，所以也称为分离超平面。二维空间分离平面示意图：

 

 感知机的学习策略

给定训练集，须要找到模型参数w 、b，肯定将正负样例正确分开的超平面。这时咱们须要定义损失函数并极小化。损失函数一个天然的想法是误分类点

的总数，但它不是w 、b的连续可导数；另外一个想法是计算全部误分类点到超平面S的距离，其中任一点到S的距离可表示为：

，其中是w的L₂  范数。

对于误分类的数据(x_i ,y_i)有：

 

误分类点集合有：

 

误分类点到超平面S的距离为：

 

所以全部误分类点到超平面的距离为：，M为误分类点的集合。

 

不考虑就获得感知机的损失函数，感知机的学习策略就是在假设空间选取使最小的模型参数w 、b。

 

感知机损失函数极小化方法

感知机误分类集合M，全部点离超平面S越近，越小，而对是连续可导的，对w求偏导得：

对b求偏导得：

 

训练时随机选取误分类点对更新：

其中为学习率或步长。

比较直观的代码实现：

# 数据线性可分，二分类数据
# 此处为一元一次线性方程
class Model:
    def __init__(self):
        self.w = np.ones(len(data[0])-1, dtype=np.float32)
        self.b = 0
        self.l_rate = 0.1
        # self.data = data
    
    def sign(self, x, w, b):
        y = np.dot(x, w) + b
        return y
    
    # 随机梯度降低法
    def fit(self, X_train, y_train):
        is_wrong = False
        while not is_wrong:
            wrong_count = 0
            for d in range(len(X_train)):
                X = X_train[d]
                y = y_train[d]
                if y * self.sign(X, self.w, self.b) <= 0:
                    self.w = self.w + self.l_rate*np.dot(y, X)
                    self.b = self.b + self.l_rate*y
                    wrong_count += 1
            if wrong_count == 0:
                is_wrong = True
        return 'Perceptron Model!'
        
    def score(self):
        pass

 感知机的收敛性

Novikoff定理说明：1）线性可分的样本必定存在超平面将正负样本分开；

2）误分类次数有上限，通过有限次搜索能够找到样本彻底正确分开的超平面，也就是说原始形式经过不断迭代是收敛的。

3）当样本线性不可分时，感知机算法不收敛，原始形式迭代过程会发生震荡。

4）感知机的算法存在许多解，依赖于初值选择，也依赖于误分类点在迭代过程当中的顺序。

5）在增长约束条件下，能够获得惟一分离超平面。

 

感知机学习对偶形式

　　感知机学习算法对偶形式：
　　输入：线性可分的数据集其中，，i=1,2...N，学习率

　　输出：a，b： 感知机模型 ，其中a=

　　1)

　　2)在训练集中选取数据

　　3）若是

　　

　　

　　4）转至（2）直到没有误分类数据。

对偶形式中样本实例之内积形式预先计算出来，保存在Gram矩阵中。

　　对偶形式与原始形式本质同样，它出现的意义在于：样本点特征向量之内积事先计算好，放在Gram矩阵中，在更新参数a、b时，直接

经过查询矩阵，能够加快计算。

　　不妨假设特征空间是，n很大，而样本行数N远小于n，若是采用原始形式时间复杂度为 ；采用对偶形式的话，直接在Gram矩阵

里查表就能拿到内积  ，因此这个误判检测的时间复杂度是 ，大大下降了时间复杂度。

　　换句话说感知机的对偶形式，经过提早计算好样本点内积并存储于Grama Matrix，把每轮数据迭代的时间复杂度，从特征空间维度n转移

到样本集大小的维度，达到了性能的提高。

 

参考推荐

李航《统计学习方法》

https://github.com/wzyonggege/statistical-learning-method

https://www.zhihu.com/question/26526858/answer/253579695