数学基础知识 集合

1、集合的定义

一般地,我们把研究对象称为元素,把一些元素的组成总体称为集合。简称

2、集合的描述

我们通常使用大写字母A、B、C来表示集合,用小写字母来a,b,c来表示元素

记作:A = {a,b,c,d}

a 这个元素属于集合A,记作: a ∈ A

e 这个元素不属于集合A,记作: e ∉ A

我们如何表示 x > 6 的数集?

B = {x ∈ R | x > 6}

R:代表实数集,如果是实数集,那么也可以写成:

B = { x | x > 6}

3、集合的特性

确定性互异性无序性

确定性: 给定一个集合,那么这个集合的元素就是确定的

比如:小于5的正整数,分别有 1,2,3,4

只有这四个元素,记作:A = {1,2,3,4}

再比如:身材较高的人,这个就不能构成一个集合,怎样才算较高呢,没有一个准确的标准。

互异性:

集合中每个元素都是唯一的

无序性

小于5的正整数

A = {1,2,3,4}

也可以写作:A = {2,1,4,3}

数学中常用的数集

1、自然数集(N)

2、正整数集(N*)

3、整数集(Z)

4、有理数集(Q)

5、实数集®

数集包含关系如下:

在这里插入图片描述
子集:

如果一个集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素,我们就说这两个集合有包含关系

记作:A ⊆ B 或 B ⊇ A

关系如下:

在这里插入图片描述

在这里插入图片描述
特别地:任何一个集合是它本身的子集

即:A ⊆ A

真子集

如果集合A ⊆ B ,而且至少存在一个元素属于B而不属于A,那么集合A为集合B的真子集

关系如下:

在这里插入图片描述
空集

不含任何元素的集合称为空集,空集是任何集合的子集

对于集合A,B,C

如果 A ⊆ B B ⊆ C,那么A ⊆ C

如果一个集合的元素有n个,那么它的子集有2^n个,非空子集有2^n - 1个,子集有2^n - 1个,非空真子集有2^n - 2

4、集合的基本运算

并集

由所有属于A或属于B的元素组成的集合

记作:A U B

交集

既属于A又属于B的元素组成的集合

记作:A ∩ B

补集

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全集U 和 子集A

A ⊆ U

补集就是阴影部分的所有元素集合

集合A的补集记作

在这里插入图片描述

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