背包问题理解

背包问题
我们可以把背包问题分成3种不同的子问题:0-1背包问题、完全背包和多重背包问题,剩下一些都是这3种的变形以及组合。

01背包
有 N 件物品和一个容量为 V 的背包,第 i 件物品消耗的容量为 Ci,价值为 Wi,求解放入哪些物品可以使得背包中总价值最大。

完全背包
有 N 种物品和一个容量为 V 的背包,每种物品都有无限件可用,第 i 件物品消耗的容量为 Ci,价值为 Wi,求解放入哪些物品可以使得背包中总价值最大。

多重背包
有N种物品和一个容量为V的背包,第 i 种物品最多有 Mi 件可用,每件物品消耗的容量为 Ci,价值为 Wi,求解放入哪些物品可以使得背包中总价值最大。

01背包问题
例:
在这里插入图片描述
解决方法1:暴力拆解
每个状态分别表示取或者不取,1表示取,0表示不取
在这里插入图片描述
问题:时间复杂度高

动态规划实现:
在这里插入图片描述
转移方程:
dp[i][j]表示前i个物体在容量为j的情况下,能取到的最大价值
1,不取第i个物体:价值为dp[i-1][j]
2, 取第i个物体:价值为dp[i-1][j-A[i]]+V[i]

状态转移方程为:dp[i] [j] = max{dp[i-1][j],dp[i-1][j-A[i]]+V[i]}

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