感谢https://blog.csdn.net/Hearthougan/article/details/53869671html
只许选一次的背包 –– 0-1背包ios
问题描述:web
有 N N N个物品和一个容量为 S S S的背包,第 i i i件物品的重量是 w [ i ] w[i] w[i],价值是 v [ i ] v[i] v[i]。在每种物品只许放一次,不可拆分,不超过背包容量的前提下,问如何才能让背包的总价值最大。数组
思路:svg
咱们将 f [ i ] [ j ] f[i][j] f[i][j]定义为在前 i i i个物品里作出选择,使容量为 j j j的背包价值最大。优化
对于第 i i i件物品,有两种状况:spa
1.放物品 i i i,此时 f [ i ] [ j ] = f [ i − 1 ] [ j − w [ i ] ] + v [ i ] f[i][j]=f[i-1][j-w[i]]+v[i] f[i][j]=f[i−1][j−w[i]]+v[i]
2.不放物品 i i i,此时 f [ i ] [ j ] = f [ i − 1 ] [ j ] f[i][j]=f[i-1][j] f[i][j]=f[i−1][j].net
综上所述,本题的状态转移方程为: f [ i ] [ j ] = m a x f [ i − 1 ] [ j − w [ i ] ] + v [ i ] , f [ i − 1 ] [ j ] f[i][j]=max{f[i-1][j-w[i]]+v[i],f[i-1][j]} f[i][j]=maxf[i−1][j−w[i]]+v[i],f[i−1][j]。设计
伪代码以下:code
for 1...n for w[i]...s f[i][j]=max{ f[i-1][j-w[i]]+v[i],f[i-1][j]}
这个思路时间上是最优的,可是空间能够优化到 O ( V ) O(V) O(V)。
毕竟 f [ i ] [ j ] f[i][j] f[i][j]只跟上一行有关系,那么咱们能够试试只用一维数组去储存。
这种方法可不可行?可行,可是 j j j要逆向枚举,由于旧数据不能被覆盖。
由于 f [ j ] f[j] f[j]依赖于 f [ j − w [ i ] ] f[j-w[i]] f[j−w[i]](旧数据哦),若是正向枚举的话, f [ j − w [ i ] ] f[j-w[i]] f[j−w[i]]就已经被新数据覆盖掉了,就有可能已经选入了物品i!(别忘了 f [ i ] [ j ] f[i][j] f[i][j]是指在前i个物品里作出选择)
也就是说,原先的 f [ i − 1 ] [ j − w [ i ] ] f[i-1][j-w[i]] f[i−1][j−w[i]]已经被覆盖了,如今里面装的是 f [ i ] [ j − w [ i ] ] f[i][j-w[i]] f[i][j−w[i]]。这时极有可能已经选中了物品 i i i,若是此次物品 i i i还被选中的话,物品 i i i就被选中了两次,违背了0-1背包的限制!
所以,为了避免违背0-1背包的限制,咱们必须逆向枚举。
优化后的伪代码以下:
for 1...n for s...w[i] f[j]=max{ f[j-w[i]]+v[i],f[j]}
例题:
开心的金明 金明今天很开心,家里购置的新房就要领钥匙了,新房里有一间他本身专用的很宽敞的房间。更让他高兴的是,妈妈昨天对他说:“你的房间须要购买哪些物品,怎么布置,你说了算,只要不超过N元钱就行”。今天一早金明就开始作预算,可是他想买的东西太多了,确定会超过妈妈限定的N元。因而,他把每件物品规定了一个重要度,分为5等:用整数1~5表示,第5等最重要。他还从因特网上查到了每件物品的价格(都是整数元)。他但愿在不超过N元(能够等于N元)的前提下,使每件物品的价格与重要度的乘积的总和最大。 设第j件物品的价格为v[j],重要度为w[j],共选中了k件物品,编号依次为j1...jk,则所求的总和为:v[j1]*w[j1]+..+v[jk]*w[jk]。 请你帮助金明设计一个知足要求的购物单。 【输入格式】 输入的第1行,为两个正整数N,M,用一个空格隔开:(其中n(n<30000)表示总钱数,m(m<25)为但愿购买物品的个数。) 从第2 行到第m+1行,第j行给出了编号为j-1的物品的基本数据,每行有2个非负整数v,p (其中v 表示该物品的价格(v≤10000),p 表示该物品的重要度(1~5)) 【输出格式】 输出只有一个正整数,为不超过总钱数的物品的价格与重要度乘积的总和的最大值(<100000000)。 【输入样例】 1000 5 800 2 400 5 300 5 400 3 200 2 【输出样例】 3900
代码:
#include<iostream> #include <algorithm> using namespace std; struct thing { int v,p; } want[30]; long long c[10010],d[10010]; int main() { int n,m; cin>>n>>m; for(int i=1; i<=m; i++) { cin>>want[i].v>>want[i].p; } for(int i=1; i<=m; i++) { for(int j=n; j>=want[i].v; j--) { c[j]=max(c[j],c[j-want[i].v]+want[i].v*want[i].p); } } cout << c[n] << endl; return 0; }
能够选无数次的背包 –– 彻底背包
问题描述:
有 N N N个物品和一个容量为 S S S的背包,第 i i i件物品的重量是 w [ i ] w[i] w[i],价值是 v [ i ] v[i] v[i]。在每种物品有无限个,不可拆分,不超过背包容量的前提下,问如何才能让背包的总价值最大。
此题和0-1背包问题很像,因此能够在0-1背包的基础上作必定的修改就能够了。
想一想看,0-1背包在哪里阻止了重复选择物品的可能?
固然是 j j j的循环这个地方!
那么,咱们直接把 j j j的循环这个地方改为正序(可能重复装入物品,正好知足要求)不就能够了吗?
完整代码以下(找不到例题QAQ)
#include<iostream> #include<algorithm> using namespace std; struct thing { int v,p; } want[30]; long long c[10010]; int main() { int n,m,; cin>>n>>m; for(int i=1; i<=m; i++) { cin>>want[i].v>>want[i].p; } for(int i=1; i<=m; i++) { for(int j=want[i].v;j<=n; j++) { c[j]=max(c[j],c[j-want[i].v]+want[i].p); } } cout << c[n] << endl; return 0; }
数量有上限的背包 –– 多重背包
问题描述:有 N N N个物品和一个容量为 S S S的背包,第 i i i件物品的重量是 w [ i ] w[i] w[i],价值是 v [ i ] v[i] v[i],上限是 c [ i ] c[i] c[i]。在不可拆分,不超过背包容量的前提下,问如何才能让背包的总价值最大。
此题和0-1背包问题也很像,因此也能够在0-1背包的基础上作必定的修改。
咱们能够直接加一个循环,从0到上限枚举物品个数,伪代码以下:
for 1...n for s...w[i] for 0...c[i] if j>=w[i]*k f[j]=max{ f[j-w[i]*k]+v[i]*k,f[j]}
例题:
庆功会 为了庆祝班级在全校运动会上取得全校第一名的成绩,班主任决定开一场庆功会,为此拨款购买奖品犒劳运动员。指望拨款金额可以买最大值的奖品,能够补充他们的精力和体力。 【输入格式】 第一行两个数n(≤500),m(≤6000),分别表明奖品种数和拨款金额。 接下来n行,每行三个数v,p,s,分别表明奖品价格,价值和可以买到的最大数量,其中v≤100,p≤1000,s≤10。 【输出格式】 一个数,表示这次购买能得到的最大价值。 【输入样例】 5 1000 80 20 4 40 50 9 30 50 7 40 30 6 20 20 1 【输出样例】 1040
#include<iostream> #include<algorithm> using namespace std; struct thing { int v,p,s; } want[30]; long long c[10010]; int main() { int n,m; cin>>n>>m; for(int i=1; i<=m; i++) { cin>>want[i].v>>want[i].p>>want[i].s; } for(int i=1; i<=n; i++) { for(int j=m;j>=want[i].v; j--) { for(int k=0;k<=want[i].s; k++){ if(j >=k*want[i].v) c[j]=max(c[j],c[j-k*want[i].v]+k*want[i].p); } } } cout << c[m] << endl; return 0; }
附:
0-1背包空间和时间都最优的代码
#include <iostream> #include <algorithm> using namespace std; int main(){ int n,s,f[100],w,v; cin>>n>>s; for(int i = 1;i <= n;i++) cin>>w>>v; for(int j = s; j >= w[i]; j--) f[j] = max(f[j], f[j-w]+v); cout<<f[s]<<endl; return 0; }
超级大礼包
https://www.luogu.com.cn/discuss/show/263072