【线性代数公开课MIT Linear Algebra】 第四课 从矩阵消元到LU分解

本系列笔记为方便往后本身查阅而写，更多的是我的看法，也算一种学习的复习与总结，望有始有终吧~

矩阵的逆与转置

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为何逆矩阵要反过来？这就像是…你先把鞋子脱了再脱袜子，那么反过来不就是要先穿上袜子，再穿鞋子吗？因此说，忘记书上的蠢例子吧。

一个显而易见的性质， (AB)−1=(B−1A−1)
引出另一个性质： (AB)T=BTAT

如上图 (AA−1)T=(A−1)TAT=IT=I
可知 (AT)−1=(A−1)T

LU分解

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其实，消元的目的只是为了正确认识矩阵的概念，而LU分解是最基础的矩阵分解。

还记得咱们如何将一个矩阵化为上三角（upper triangular）吗？见下面的例子：

写为 A=LU 的形式，则 A=E−121U

注意到 L 为下三角矩阵(lower triangular)
有时候会写成下面的形式，是 L 和 U 对角线上全为 1

中间的矩阵会是一个对角矩阵(diagonal matrix)，因此也叫 LDU 分解
那么为何咱们要写成这种形式呢？咱们知道 EA=U 这里的 E 就是在学校的时候被老师各类折磨叫咱们如何将矩阵化为上三角、阶梯矩阵等等诸如此类的东西，那么为何非要写成 A=E−1U=LU 呢？见例子：

看看 E 和 L 的差异， E 中的因为两个矩阵相乘将二次的做用叠加到了最后的结果上，使得你没法轻易地经过观察最终的 E 了解中间的步骤，而反观它的逆也就是 L ，你能够很直观的看出消元的步骤。

额外知识：让咱们试着考察一下 LU 分解的复杂度，对于 N∗N 矩阵，首先你须要把第 2 N 行乘一个系数减去第一行，这里咱们将以此乘法以此减法当作一次操做，那么很明显须要 ∑1i=N−1i2=13N3

上面的状况都是在pivot不为零的状况下进行的，当pivot等于0时，咱们须要交换行来选择新的pivot，用于交换行的矩阵称为permutation matrix(排列矩阵？)，咱们很容易就能够列举出在3*3的状况下的全部排列矩阵：

排列矩阵 P 有一个很奇妙的性质： P−1=PT

PS：本文图片皆来自公开课视频截图
PS2：LU分解在MATLAB中有现成的函数，找时间介绍其使用。