四元数的笔记

定义

四元数　\(h = a + bi + cj + dk\)

共轭:　$ h^* = a -bi -cj -dk$

逆：　$ h^{-1} = \frac{h^*}{|h|^2}$

因此单位四元数的共轭等于他的逆

单位四元数（绝对值为1的四元数）若实部为cos(t),它的共轭做用是一个角度为2t的转动，转轴为虚部的方向。

四元数的优势是：

• 表达式无奇点,无万向锁（和例如欧拉角之类的表示相比）
• 比矩阵更简炼,旋转矩阵有９个变量（也更快速）
• 单位四元数能够表示四维空间中的一个转动。

只有单位四元数才能表示旋转，因此在Eigen中通常会有quaternion.normialzed()进行归一化的处理

任给一个单位四元数q，计算它的虚部，咱们就立刻能够知道转轴是什么,计算一个单位四元数的实部，它的反余弦值给出旋转角的一半。在四元数表示下，计算转轴和旋转角变得异常简单。

四元数的微分

当咱们使用旋转轴加上旋转角表示旋转的时候，咱们定义以下

\(v =u \theta\) , u是单位向量，\(\theta = ||v||\)

而且由泰勒展开，咱们有，　\(e^v = e^{u\theta} = cos\theta + usin\theta\)

记住一个绕轴ｕ旋转\(\theta\)角度的旋转，表示成四元数的时候是作两次旋转，对应的ｑ是\(cos(\frac {\theta}{2}) + u sin(\frac {\theta}{2})\) = $
\begin{bmatrix}
cos(\frac {\theta}{2}) \
u sin(\frac {\theta}{2}) \
\end{bmatrix}$

\[x^{'} = q \bigotimes x \bigotimes q^{*}　= Rx\]

对应的当咱们旋转很小的角度，\(\theta\) --> 0的时候，咱们对上面的矩阵和ｅ函数求近似值，有

对时间求微分

\[ \frac {d q(t)}{dt} = lim \frac{q(t+\Delta t) - q(t)}{\Delta t}\]

代入就有

\[ \frac {d R(t)}{dt} = lim \frac{\Delta RR(t) - R(t)}{\Delta t}\]

\[\omega _L = \frac{d\theta _L(t)}{dt}\]

\[\frac{d R^{e}_{b}}{dt} = [\sideset {^e} {}\omega] _{\times} R^{e}_{b}\]

\[\frac{d R^{e}_{b}}{dt} = R^{e}_{b} [\sideset {^b} {}\omega ]_{\times} \]

看上面的公式，角速度在不一样的坐标系表示下，一个是乘在左边的一个是在右边的，若是把右边的一个Ｒ乘过去，

\[\dot{R(t)}R(t)^T = \phi(t)^\wedge\]

这个是否是很熟悉，就是李群和李代数之间的变换关系。

在下面的那篇论文中能够证实，

说明李群中对应的skew-matrix不是随便选取的(不是只要知足反对成矩阵的性质)，是有必定的方法。\(\omega\)又叫作rotation vector. encodes the angle and axis of rotation

\[\dot q(t) = \frac{1}{2}q(t) \bigotimes \omega(t)\]

在一段时间内\([t_n,t_{n+1}]\),\(\dot \omega =0\),

上面的左边就是\(e^{\omega \Delta t/2}\)，根据上面说的这个指数对应的旋转角是\(w_n \Delta t\),因此有，

\[q(n+1) = q(n) \bigotimes q\{w_n \Delta t\}\]

这样咱们就有了相邻时刻的四元数关系，上面的全部公式均可以在下面的论文找到。

Quaternion kinematics for the error-state Kalman filter