神经网络和深度学习（二）——BP(Backpropagation Algorithm, 反向传播算法)

时间  2020-12-27

   上一周主要看了 Neural Networks and Deep Learning  网上在线课程的第二章的内容 和 斯坦福大学 《机器学习》的公开课，学习了BP( Back Propagation Algorithm, 反向传播算法)。现在总结如下：

       只要使用神经网络就会用到BP算法，反向传播算法可以用来学习神经网络的权值，仍然采用梯度下降算法，以最小化网络的实际输出与目标输出之间的平方误差为目标。BP算法的目标是在神经网络中可以求任意权值w 和 偏置b 的成本函数（cost function）C 的两个偏导数——C对w的偏导数 和 C对b的偏导数

     首先定义几个符号：

     

图1  的定义

       同样的，再定义  和  ：

      ，    

      


       由此，可以得到激励函数a的计算公式：

     

      公式简写如下：

 

    令 ，则   。

      在正式介绍BP算法之前，先介绍一种运算规则——Hadamard product(阿达马乘积)

      

     

    定义  ：


    根据公式 （23）、（29）可知，the error 是和C对w的偏导数 和 C对b的偏导数 有关。

     现在给出BP算法使用的四个基本公式：

  

    将（BP1）公式改写为矩阵形式的公式：


    关于两层之间的delt计算公式：


     关于偏置b 的BP公式：

        

       上述公式简记为：

      

        关于权值w 的BP公式：

        

     上述公式简记为：

      可以用下图来形象地表示上述关系式

 


       

         有关上述四个公式的证明，这里就不再给出，如果感兴趣可以点击本文开头提供的网上在线课程的链接进行查看，主要就是运用了高数中的链式求导法则进行相关证明。

        BP算法

       BP(反向传播)算法提供了一种计算成本函数（cost function）梯度的方法。算法主要流程如下：



      BP算法的代码实现

   

[python]  view plain  copy
  1. class Network(object):  
  2. ...  
  3.     def update_mini_batch(self, mini_batch, eta):  
  4.         """Update the network's weights and biases by applying 
  5.         gradient descent using backpropagation to a single mini batch. 
  6.         The "mini_batch" is a list of tuples "(x, y)", and "eta" 
  7.         is the learning rate."""  
  8.         nabla_b = [np.zeros(b.shape) for b in self.biases]  
  9.         nabla_w = [np.zeros(w.shape) for w in self.weights]  
  10.         for x, y in mini_batch:  
  11.             delta_nabla_b, delta_nabla_w = self.backprop(x, y)     #使用BP算法求解两个偏导数，进而可求成本函数的梯度  
  12.             nabla_b = [nb+dnb for nb, dnb in zip(nabla_b, delta_nabla_b)]  
  13.             nabla_w = [nw+dnw for nw, dnw in zip(nabla_w, delta_nabla_w)]  
  14.         self.weights = [w-(eta/len(mini_batch))*nw   
  15.                         for w, nw in zip(self.weights, nabla_w)]  
  16.         self.biases = [b-(eta/len(mini_batch))*nb   
  17.                        for b, nb in zip(self.biases, nabla_b)]  

            反向传播算法的代码实现：

[python]  view plain  copy
  1. class Network(object):  
  2. ...  
  3.    def backprop(self, x, y):  
  4.         """Return a tuple "(nabla_b, nabla_w)" representing the 
  5.         gradient for the cost function C_x.  "nabla_b" and 
  6.         "nabla_w" are layer-by-layer lists of numpy arrays, similar 
  7.         to "self.biases" and "self.weights"."""  
  8.         nabla_b = [np.zeros(b.shape) for b in self.biases]  
  9.         nabla_w = [np.zeros(w.shape) for w in self.weights]  
  10.         # feedforward  
  11.         activation = x  
  12.         activations = [x] # list to store all the activations, layer by layer  
  13.         zs = [] # list to store all the z vectors, layer by layer  
  14.         for b, w in zip(self.biases, self.weights):  
  15.             z = np.dot(w, activation)+b  
  16.             zs.append(z)  
  17.             activation = sigmoid(z)  
  18.             activations.append(activation)  
  19.         # backward pass  
  20.         delta = self.cost_derivative(activations[-1], y) * \  
  21.             sigmoid_prime(zs[-1])  
  22.         nabla_b[-1] = delta  
  23.         nabla_w[-1] = np.dot(delta, activations[-2].transpose())  
  24.         # Note that the variable l in the loop below is used a little  
  25.         # differently to the notation in Chapter 2 of the book.  Here,  
  26.         # l = 1 means the last layer of neurons, l = 2 is the  
  27.         # second-last layer, and so on.  It's a renumbering of the  
  28.         # scheme in the book, used here to take advantage of the fact  
  29.         # that Python can use negative indices in lists.  
  30.         for l in xrange(2, self.num_layers):  
  31.             z = zs[-l]  
  32.             sp = sigmoid_prime(z)  
  33.             delta = np.dot(self.weights[-l+1].transpose(), delta) * sp  
  34.             nabla_b[-l] = delta  
  35.             nabla_w[-l] = np.dot(delta, activations[-l-1].transpose())  
  36.         return (nabla_b, nabla_w)  
  37.   
  38. ...  
  39.   
  40.     def cost_derivative(self, output_activations, y):  
  41.         """Return the vector of partial derivatives \partial C_x / 
  42.         \partial a for the output activations."""  
  43.         return (output_activations-y)   
  44.   
  45. def sigmoid(z):  
  46.     """The sigmoid function."""  
  47.     return 1.0/(1.0+np.exp(-z))  
  48.   
  49. def sigmoid_prime(z):  
  50.     """Derivative of the sigmoid function."""  
  51.     return sigmoid(z)*(1-sigmoid(z))  
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