Joyful HDU - 5245 几率问题

Sakura has a very magical tool to paint walls. One day, kAc asked Sakura to paint a wall that looks like an  M×NM×N matrix. The wall has M×NM×N squares in all. In the whole problem we denotes (x,y)(x,y) to be the square at the xx-th row, yy-th column. Once Sakura has determined two squares (x1,y1)(x1,y1) and (x2,y2)(x2,y2), she can use the magical tool to paint all the squares in the sub-matrix which has the given two squares as corners. 

However, Sakura is a very naughty girl, so she just randomly uses the tool for KKtimes. More specifically, each time for Sakura to use that tool, she just randomly picks two squares from all the M×NM×N squares, with equal probability. Now, kAc wants to know the expected number of squares that will be painted eventually.

InputThe first line contains an integer TT(T≤100T≤100), denoting the number of test cases. 

For each test case, there is only one line, with three integers M,NM,N and KK. 
It is guaranteed that 1≤M,N≤5001≤M,N≤500, 1≤K≤201≤K≤20. 
OutputFor each test case, output ''Case #t:'' to represent the tt-th case, and then output the expected number of squares that will be painted. Round to integers.Sample Input

2
3 3 1
4 4 2

Sample Output

Case #1: 4
Case #2: 8


        
 

Hint

The precise answer in the first test case is about 3.56790123.
        
 

题意：

给出一个M*N的矩阵，从其中任意的选两个格子，将以两个格子为对角的矩形染色。这样的操做重复k次，问会被涂色的格子数的指望值。

 

 

分析：

指望值说白了就是执行完上述操做后，计算最有可能涂了多少个格子。

 

看了网上的题解才明白，咱们只须要计算每个格子可能被选中的几率，

 

指望值E(x)=x1*p1 + x2*p2 + .....  + xn*pn;

 

在这里咱们把每1个格子看作独立事件，因此这里的x1=x2=.....=xn=1，

 

因此对于本题，指望值 E(x)=p1 + p2 + .....  + pn;

 

 

解题：

如今问题就简化成了求 每个格子 被选中的几率，再累加便可。

 

先看一张图：

 

 

假设如今咱们求5这个点被涂色的几率，怎样可让他染上色呢？

 

选点（x1,y1）和 （x2,y2）构成的矩形包含5这个点便可。

 

在矩阵中选两个点的总状况数 是 m*n * m*n

 

那么选点有9种状况：

 

一、若(x1,y1)在区域1，则(x2,y2)能够在区域五、六、八、9 

二、若(x1,y1)在区域3，则(x2,y2)能够在区域四、五、七、8

三、若(x1,y1)在区域7，则(x2,y2)能够在区域二、三、五、6

四、若(x1,y1)在区域9，则(x2,y2)能够在区域一、二、四、5

 

五、若(x1,y1)在区域2，则(x2,y2)能够在区域四、五、六、七、八、9

六、若(x1,y1)在区域4，则(x2,y2)能够在区域二、三、五、六、八、9

七、若(x1,y1)在区域6，则(x2,y2)能够在区域一、二、四、五、七、8

八、若(x1,y1)在区域8，则(x2,y2)能够在区域一、二、三、四、五、6

 

九、若(x1,y1)在区域5，则(x2,y2)能够在任意区域

 

 

当前这个点被染色的几率就是这9种状况之几率和。
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参考博客：https://blog.csdn.net/winter2121/article/details/71082686

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#include <algorithm>
#define ls (r<<1)
#define rs (r<<1|1)
#define debug(a) cout << #a << " " << a << endl
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll maxn = 1e3+10;
const ll mod = 1e9+7;
const double pi = acos(-1.0);
const double eps = 1e-8;
int main() {
    ll T, k;
    double n, m;
    scanf("%lld",&T);
    for( ll cas = 1; cas <= T; cas ++ ) {
        scanf("%lf %lf %lld",&m,&n,&k);
        double sum = n*m*n*m, ans = 0; //sum：全部的状况种数，ans：指望值
        for( ll i = 1; i <= m; i ++ ) {
            for( ll j = 1; j <= n; j ++ ) { //对每个点算贡献值
                double p = 0; //点(i,j)被选中的状况数
　　　　　　　　//另一个点在区域1，3，5，7
                p += (i-1)*(j-1)*(m-i+1)*(n-j+1);
                p += (i-1)*(n-j)*(m-i+1)*j;
                p += (m-i)*(j-1)*i*(n-j+1);
                p += (m-i)*(n-j)*i*j;
　　　　　　　　//另一个点在区域2，4，6，8　
                p += (i-1)*1*(m-i+1)*n;
                p += 1*(j-1)*m*(n-j+1);
                p += 1*(n-j)*m*j;
                p += (m-i)*1*i*n;
　　　　　　　　//另一个点在区域5
                p += m*n;
　　　　　　　　//点(i,j)被选中的几率
                p = (p*1.0)/sum;
                ans += 1-pow(1-p,k);
            }
        }
        printf("Case #%lld: %.0f\n",cas,ans);
    }
    return 0;
}