几个几率题

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1，一根木棒，截成三截，组成三角形的几率是多少？

2，抛一个六面的色子，连续抛直到抛到6为止，问指望的抛的次数是多少?

3，一个木桶里面有M个白球，每分钟从桶中随机取出一个球涂成红色（不管白或红都涂红）再放回，问将桶中球所有涂红的指望时间是多少？

4，你有一把宝剑。每使用一个宝石，有50%的几率会成功让宝剑升一级，50%的几率会失败。若是宝剑的级数大于等于5的话，那么失败会使得宝剑降1级。若是宝剑的级数小于5的话，失败没有效果。问题是：指望用多少个宝石可让一把1级的宝剑升到9级？

5，一个黑盒里是一个图，结构未知，只知道点的个数是n，边的个数是m，写公式给出两个点相连的几率。

6，54张牌，平均分红三堆，大小王在同一堆的几率？

 

Solutions:

1, 0.25

假设总体长度为1（由于这个值不影响几率的计算，因此能够这样假设），第一段的长度是x，第二段为y，第三段为1-x-y。

x,y值要想成为木棍切出来的长度必需要知足的条件为 0<x<1, 0<y<1,0<x+y<1，这些点构成了下图1中红色的部分。

而这三段要构成三角形还必须知足：

x+y>1-x-y => x+y>0.5

x+1-x-y>y => y<0.5;

y+1-x-y>y => x<0.5

这些点构成图2中黄色区域。黄色区域与红色区域面积的比值就是，全部切割中能构成三角形的切割方式和全部切割方式的比值。也就是题目的答案。

 

2，这种一种几率模型？叫啥来着

由于每次抛到6的几率相等，都是1/6，因而指望的次数就是1/(1/6)=6次。

 

3，一个木桶里面有M个白球，每分钟从桶中随机取出一个球涂成红色（不管白或红都涂红）再放回，问将桶中球所有涂红的指望时间是多少？

这题目和上面的用到了一样的几率模型。

在M个球中取到第1个未着色的取得次数指望是：1

在M个球中取到第2个未着色的取得次数指望是：1/(M-1/M)   ---- 这就是用题目2的模型得出的指望，就像抛色子(只有两色)，第一个着色的点数为1，其它全部未着色的是点数为2。

在M个球中取到第3个未着色的取得次数指望是：1/(M-2/M)

...

在M个球中取到第M个未做色的求所须要的取得次数的指望是：1/(1/M)

总体次数的指望就是 1+ 1/(M-1/M)+1/(M-2/M)+...+M

 

4，

用a[i]表示从第i-1级升到第i级指望使用的宝石数量。

当i<=5时，由于不会降级，则指望的数量均为2，即a[2] = a[3] = a[4] = a[5] = 2

当i>5时，由于会降级，成功时一个宝石就够了，不成功时须要倒退一级，须要先使用a[i-1]个宝石先回到i-1级，再使用a[i]个宝石升到第i级，即

a[i] = 1 * 1/2 + (1 + a[i-1] + a[i]) * 1/2

即 a[i] = a[i-1] + 2

可知，a[6]= 4, a[7] = 6, a[8] = 8, a[9] = 10

则1级到9级须要的宝石数为 a[2]+…+a[9] = 36。

 

5，(only my solution, maybe it's not right...)

n个顶点能够有N=n*(n-1)/2条边，因此这个问题与问题：进行N次实验，每次实验的结果符合伯努利分布，成功的几率为p（未知），N次实验总的成功(平均)次数为m，那么p是多少？是相同的。设随机变量A表示N次伯努利实验成功的次数，Ai表示第i次实验的结果，P(Ai=0)=p，那么A=A1+A2+... 。m=E(A)=E(A1)+E(A2)+.. 。并且E(Ai)=p，因此很容易就求出p来了。

 

6，

在高中时，这种题过小菜了!!惋惜我已经高中过去七八年了~~~

随机事件A: 小王和大王在同一堆

随机事件Ai：小王和大王在第i堆, i=1,2,3 。 A1，A2和A3互斥

P(A)=P(A1+A2+A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)=P(大王在第一堆，小王在第一堆)+P(大王在第二堆，小王在第二堆)+P(大王在第三堆，小王在第三堆)

=P(大王在第一堆|小王在第一堆)P(小王在第一堆)+P(大王在第二堆|小王在第二堆)P(小王在第二堆)+P(大王在第三堆|小王在第三堆)P(小王在第三堆)

=3*(17/53)*(1/3)

=17/53

 

 

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1, 给你一个数组，设计一个既高效又公平的方法随机打乱这个数组

2，有一苹果，两我的抛硬币来决定谁吃这个苹果，先抛到正面者吃。问先抛这吃到苹果的几率是多少？

3，快速生成10亿个不重复的18位随机数的算法(从n个数中生成m个不重复的随机数)

 

Solution1:

1，对于A[i],i=0,1,2,...N，随机在数组A[i,i+1,..N]中挑选一个数字交换到A[i]。

为何这么作会随机？

证实算法随机，只需证实每一个数字分配到每一个位置的几率是相等的。

易得，数组0-N位置的任意一个数字到位置0的几率都是1/n

到位置1的几率是(1-1/n)*(1/(n-1))=1/n

解释：P(到位置1)=P(第一次调用随机算法的时候没交换到位置0)P(第二次到位置1|第一次调用随机算法的时候没交换到位置0)

到位置2的几率是(1-1/n)(1-1/(n-1))(1/n-2)=1/n

...

2，A表示随机事件先抛的人吃到苹果，那么

i表示先抛的人一共抛了的次数，上面的式子能够求出，P(A)=2/3

3,