面试题：计算 n！阶乘的结果的末尾有几个0

前言

首先基于一个事实：咱们不可能真的把 n! 的结果计算出来，再去数结果的末尾有几个0；n 很小还好，若是n很大，甚至趋近于无穷大，咱们是不可能这样作的。缘由主要有二：

1. 通常计算机的计算能力和存储能力也有限，是计算不出那么大的数的。
2. 即便计算机能算出来，这样作也很耗时，可能要算好久。

连计算机都算不出来，那咱们怎么办呢？别慌，虽然咱们不能直接算出结果，但咱们能够把问题一步步拆解。

拆解思路

首先，咱们想什么状况下会产生一个0？

诶，一个数乘以 10，在末尾就会多出一个 0。而 10 = 5 * 2。

一组数相乘的结果末尾有几个0，取决于这组数因式分解后有几对 5 和 2 的因子。

针对于 n! 这个题目，有这样一个事实：把相乘的数因式分解后，2 的个数确定大于 5 的个数。

因此，这个问题能够拆解为：只要求出因式分解后有几个 5 的因子便可，5的个数便是末尾出现的0的个数。

解法一：直接法

这种解法的思路是：直接将 n! 中的每一个数，按照 5 来因式分解，最后把出现的 5 的个数加起来。

public int calculateZeroInFactorial(int n) {
  int count = 0;
  // 循环判断全部的乘数
  for (int i = n; i > 0; i++) {
    if (i % 5 == 0) {
      // 若是这个乘数能够对 5 进行因式分解，再看这个乘数能够分解出几个5
      int a = i;
      while(a % 5 == 0) {
        a = a / 5;
        count++;
      }
    }
  }
  return count;
}

可是这种算法的时间复杂度为 O(nlog(n))，那有没有更快的算法呢？

解法二： log(n) 解法

分析：

1. n! 这些乘数中，每隔 5 个数，确定会有一个数至少能拆出一个 5 因子。因此 n / 5 = 至少会出现的 5 的个数。
2. 上面说至少，由于 n / 5 并不能彻底算出 5 因子的个数，好比若某个数 25 = 5 * 5，分解后获得的 5 也算一个，因此能被 25 因式分解至关于会出现 2 个 5 因子，而第一步中除以 5 算个数的时候已经算了一个了，因此至关于比以前会多一个 5 因子。
3. 依此类推，能被 25 5 = 125 因式分解的至关于比以前按 25 因式分解的时候又多出一个 5 因子。能被 125 5 = 625 因式分解的至关于比按 125 因式分解时又多出一个 5 因子。还有 625 * 5 …...

因此，n! 的结果能够拆分为多少个 5 因子呢？

n/5 + n/25 + n /125 + n/625 + ….

好比 128！的阶乘的结果末尾有几个0呢？

128/5 +128/25 + 128/125 = 25+5+1 = 31 个

又如：1247! 的阶乘的结果末尾有几个0呢？

1247/5 + 1247/25 + 1247/125 + 1247/625 = 249+49+9+1 = 308 个

public int calculateZeroInLogN(int n) {
  int count = 0;
  while (n > 0) {
    count += n / 5;
    n /= 5;
  }
  return count;
}

这种算法的时间复杂度为 O(log(n))，效率会高不少，并且仅需几行代码。