写一个算法计算n的阶乘末尾0的个数

解答

首先，算出n的阶乘的结果再去计算末尾有多少个0这种方法是不可取的， 由于n的阶乘是一个很是大的数，分分种就会溢出。咱们应当去分析， 是什么使n的阶乘结果末尾出现0。

n阶乘末尾的0来自因子5和2相乘，5*2=10。所以，咱们只须要计算n的阶乘里， 有多少对5和2。注意到2出现的频率比5多，所以，咱们只须要计算有多少个因子5便可。 咱们能够列举一些例子，看看须要注意些什么：

 

5!, 包含1*5, 1个5 10!, 包含1*5,2*5, 2个5 15!, 包含1*5,2*5,3*5, 3个5 20!, 包含1*5,2*5,3*5,4*5, 4个5 25!, 包含1*5,2*5,3*5,4*5,5*5, 6个5 ...

1 2 3 4 5 6 7

5!, 包含1*5, 1个5 10!, 包含1*5,2*5, 2个5 15!, 包含1*5,2*5,3*5, 3个5 20!, 包含1*5,2*5,3*5,4*5, 4个5 25!, 包含1*5,2*5,3*5,4*5,5*5, 6个5 ...

 

给定一个n，用n除以5，获得的是从1到n中包含1个5的数的个数；而后用n除以5去更新n， 至关于把每个包含5的数中的因子5取出来一个。而后继续一样的操做，让n除以5， 将获得此时仍包含有5的数的个数，依次类推。最后把计算出来的个数相加便可。 好比计算25的阶乘中末尾有几个0， 先用25除以5获得5，表示咱们从5,10,15,20,25中各拿一个因子5出来，总共拿了5个。 更新n=25/5=5，再用n除以5获得1，表示咱们从25中拿出另外一个因子5， 其它的在第一次除以5后就再也不包含因子5了。

代码以下：

 

int NumZeros(int n){ if(n < 0) return -1; int num = 0; while((n /= 5) > 0){ num += n; } return num; }

1 2 3 4 5 6 7 8

int NumZeros(int n){     if(n < 0) return -1;     int num = 0;     while((n /= 5) > 0){         num += n;     }     return num; }

 

思路一：

    计算出n！= nValue，而后 nValue % 10 == 0 则nCount自增1，nValue /= 10 直到条件为否，最后nCount就是咱们想要的结果，代码以下：

C\C++

int CountZero(int n)
{
    unsign long long nValue = 1;
    for (int i = 2; i <= n; i ++)
    {
        nValue *=i;
    }
    int nCount = 0;
    while(0 == nValue % 10)
    {
        nCount ++;
        nValue /= 10;        
    }
    return nCount;
}

 

    代码简洁易懂，看上去还不赖，可是这里要考虑一个问题就是在求n！整数溢出了怎么办？  显然咱们使用_int64也一样会有溢出的时候，因此上面的代码其实是不可行的。

 

思路二：

    不知道怎么办，不妨先举例分析：

1！ = 1
2！ = 1 * 2 = 2
3！ = 1 * 2 *3 = 6
4！ = 1 * 2 * 3 * 4 = 24
5！ = 1 * 2 * 3 * 4 * 5 = 120
........
1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 6 * 7 * 8 * 9 * 10 * 11 * 12 * 13
* 14 * 15 * 16 * 17 * 18 * 19 * 20 * 21 * 22 *23 * 24 * 25

 

咱们会发现一个因子2和因子5组合产生一个0，这样咱们只需统计1到n有多少个因子对，即n！的尾随零个数，因子2的个数比因子5的个数多，所以咱们只需统计出因子5的个数便可，如

5,10,15,25,30,35,40.......

 

须要注意的是，以100！为例：

统计一次5的倍数 （5,10,15,20,25,30,35,40,45,50,55,60,65,70,75,80,85,90,95,100）= 20

统计一次25的倍数（由于25的倍数有两个5的因子，因此再统计一次）（25,50,75,100） = 4

统计一次125的倍数（125的倍数由3个5的因子，因此再统计一次，以此类推）（nil）

因此100！的尾随零个数为24个

实现代码以下：

C\C++

int CountZero(int n)
{
    int count = 0;
    if (n < 0)
        return -1;
    for (int i = 5; n / i > 0; i *= 5)
        count += n / i;
    return count;
}

运行结果：

1 1 0 0
2 2 0 0
3 6 0 0
4 24 0 0
5 120 1 1
6 720 1 1
7 5040 1 1
8 40320 1 1
9 362880 1 1
10 3628800 2 2
11 39916800 2 2
12 479001600 2 2
13 6227020800 2 2
14 87178291200 2 2
15 1307674368000 3 3
16 20922789888000 3 3
17 355687428096000 3 3
18 6402373705728000 3 3
19 121645100408832000 3 3
20 2432902008176640000 4 4
21 14197454024290336768 0 4
22 17196083355034583040 1 4
23 8128291617894825984 0 4
24 10611558092380307456 0 4

 

 当n=21时，21！已经溢出。Done！

分析：

就是算，阶乘中总共有几个 2*5，又由于2老是比5多，因此算出有几个5相乘就能够。

注意：25算两个，由于5*5， 125算三个，由于5*5*5.

具体算法是这样，

第一遍，算阶乘中5的倍数有几个，即 n/5

第二遍，算阶乘中25的倍数有几个，即n/25，（这里25就不用算两次，由于在算5的倍数时已经算了一次25）

。。。。。。

最后将这些结果相加即为所求。

 

[java] view plain copy

1. package cci.section17;  
2.   
3. public class CCI_17_3 {  
4.       
5.     public static int zeroNum(int n){  
6.         int num = 0;  
7.         if(n<0) return -1;  
8.         for(int i=5; n/i>0; i*=5){  
9.             num += n/i;  
10.         }  
11.         return num;  
12.     }  
13.   
14.     public static void main(String[] args) {  
15.         // TODO Auto-generated method stub  
16.         System.out.println(zeroNum(30));//6  
17.     }  
18.   
19. }