两端固定弦的自由振动 | 分离变量法（一）| 偏微分方程（十三）

分离变量法是一种可用来求某些典型区域上定解问题精确解的经典方法，本章将通过典型例子，介绍分离变量法的基本思想和具体步骤，并提出方法的理论核心——固有值问题，进而从Fourier展开角度来认识和应用分离变量法。

两端固定弦的自由振动

作为乐器上弦的发声模型，讨论两端固定的弦在初始扰动影响下产生的运动。选弦在张力作用下的平衡位置为x轴，线上各质点的横向位移 $u(t,x)$u(t,x)满足弦振动方程的混合问题
$\begin{cases} \frac{\partial^2u}{\partial t^2}=a^2\frac{\partial^2u}{\partial x^2}, \quad t>0,0<x<l, \quad (1a)\\ u|_{x=0}=u|_{x=l}=0 \quad (1b)\\ u|_{t=0}=\varphi(x),\quad \frac{\partial u}{\partial t}|_{t=0}=\psi(x) \quad (1c)\\ \end{cases}$⎩⎪⎨⎪⎧​∂t2∂2u​=a2∂x2∂2u​,t>0,0<x<l,(1a)u∣x=0​=u∣x=l​=0(1b)u∣t=0​=φ(x),∂t∂u​∣t=0​=ψ(x)(1c)​
自然的想法是通解求特解。将初始条件奇开拓至 $[-l,0]$[−l,0]再以 $2l$2l为周期，周期开拓至 $-\infty<x<+\infty$−∞<x<+∞，便可用阿朗贝尔公式求解。

思考：物理中最简单的波是简谐波，简谐波前行遇到固定端点反射回来成为同频率的反向波，与原来的波叠加称为驻波，即波形没有传播的波。在驻波中，不同点的振动同步，有相同的规律，不同的仅是振幅，因此驻波可表示为 $u(t,x)=T(t)X(x)$u(t,x)=T(t)X(x)，这是一种变量分离形状的解。

首先来求满足齐次方程（1a）和齐次边界条件（1b）式的变量分离形状的特解（驻波解）。

设 $u(t,x)=T(t)X(x)$u(t,x)=T(t)X(x)，代入泛定方程（1a），两边同除以 $a^2u$a2u，得
$\frac{T''(t)}{a^2T(t)}=\frac{X''(x)}{X(x)}$a2T(t)T′′(t)​=X(x)X′′(x)​
该等式的左边与x无关，右边与t无关，故左右两边只能是个常数，记为 $-\lambda$−λ，分别得到 $T(t)$T(t)和 $X(x)$X(x)满足的常微分方程
$X''(x)+\lambda X(x)=0 \tag{2a}$X′′(x)+λX(x)=0(2a)

$T''(t)+\lambda a^2T(t)=0 \tag{2b}$T′′(t)+λa2T(t)=0(2b)

再将 $u(t,x)=T(t)X(x)$u(t,x)=T(t)X(x)代入边界条件（1b），有
$T(t)X(0)=T(t)X(l)=0$T(t)X(0)=T(t)X(l)=0
显然 $T(t)\neq 0$T(t)​=0，故必有
$X(0)=X(l)=0$X(0)=X(l)=0
这样，通过寻求变量分离形状的特解，把偏微分方程的定解问题划归为常微分方程的定解问题，这就是分离变量法的实质。

现在，求解常微分方程边值问题
$\begin{cases} X''(x)+\lambda X(x)=0, \quad 0<x<l \quad (3a)\\ X(0)=X(l)=0 \quad (3b) \end{cases}${X′′(x)+λX(x)=0,0<x<l(3a)X(0)=X(l)=0(3b)​
二阶线性常微分方程初值问题的解是存在唯一的，边值问题则不然，我们对参数 $\lambda$λ的不同取值分别讨论。

当 $\lambda=-\omega^2<0(\omega>0)$λ=−ω2<0(ω>0)时，方程（3a）有通解
$X(x)=Ae^{\omega x}+Be^{-\omega x}$X(x)=Aeωx+Be−ωx
由边界条件
$X(0)=A+B=0 \\ X(l)=Ae^{\omega l}+Be^{-\omega t}=0$X(0)=A+B=0X(l)=Aeωl+Be−ωt=0
知 $A=B=0$A=B=0，故边值问题（3）式无非零解。

当 $\lambda=0$λ=0时，方程的通解为
$X(x)=Ax+B$X(x)=Ax+B
由 $X(0)=B=0,X(l)=Al=0$X(0)=B=0,X(l)=Al=0知，边值问题（3）式仍无非零解。

当 $\lambda=\omega^2>0(\omega>0)$λ=ω2>0(ω>0)时，方程有通解
$X(x)=Acos\omega x+Bsin\omega x$X(x)=Acosωx+Bsinωx
代入边界条件
$X(0)=A=0 \\ X(l)=Bsin\omega l=0$X(0)=A=0X(l)=Bsinωl=0
当且仅当 $\omega=\frac{n\pi}{l}(n=1,2,···)$ω=lnπ​(n=1,2,⋅⋅⋅)时，边值问题（3）有非零解 $X_n(x)=Bsin\frac{n\pi}{l}x$Xn​(x)=Bsinlnπ​x.

这里出现的情况很像矩阵的固有值问题 $\bold Ax=\lambda x$Ax=λx，当且仅当 $\lambda$λ为某些特殊值时，该线性方程组有非零解，其中， $\bold A$A为 $n\times n$n×n矩阵， $x$x为n维向量， $\lambda$λ为参数。类似地，把 $X(x)$X(x)的边值问题（3）称为固有值(eigenvalue)问题，使固有值问题（3）式有非零解的 $\lambda$λ的取值为固有值，相应的非零解为固有函数。

这样，求出了固有值问题（3）式的固有值
$\lambda_n=(\frac{n\pi}{l})^2, \quad n=1,2,···,$λn​=(lnπ​)2,n=1,2,⋅⋅⋅,
相应的固有函数
$X_n(x)=sin\frac{n\pi}{l}x$Xn​(x)=sinlnπ​x
因为B取不同值时的解相互线性相关，不妨设 $B=1$B=1。

对于每一固有值 $\lambda_n$λn​，求解相应的 $T_n(t)$Tn​(t)的方程（2b），得通解
$T_n(t)=C_ncos\frac{an\pi}{l}t+D_nsin\frac{an\pi}{l}t$Tn​(t)=Cn​coslanπ​t+Dn​sinlanπ​t
从而得到一族分离形状的特解
$u_n(t,x)=(C_ncos\frac{an\pi}{l}t+D_nsin\frac{an\pi}{l}t)sin\frac{n\pi}{l}x \\ = a_nsin\frac{n\pi}{l}xsin(\frac{an\pi}{l}t+\theta_n),\quad n=1,2,···, \\a_n=\sqrt{C_n^2+D_n^2}, \quad \theta_n=arcsin\frac{C_n}{a_n}$un​(t,x)=(Cn​coslanπ​t+Dn​sinlanπ​t)sinlnπ​x=an​sinlnπ​xsin(lanπ​t+θn​),n=1,2,⋅⋅⋅,an​=Cn2​+Dn2​ ​,θn​=arcsinan​Cn​​
每个变量分离解 $u_n(t,x)$un​(t,x)虽然满足齐次方程（1a）和齐次边界条件（1b）式，但不一定满足初始条件（1c）式。根据叠加原理，将所有的 $u_n(t,x)$un​(t,x)线性叠加起来满足仍满足齐次方程（1a）和齐次边界条件（1b）式，通过系数的选取，则有可能使叠加后的解同时满足初始条件（1c）式。

设
$u(t,x)=\sum_{n=1}^{+\infty}(C_ncos\frac{an\pi}{l}t+D_nsin\frac{an\pi}{l}t)sin\frac{n\pi}{l}\pi$u(t,x)=n=1∑+∞​(Cn​coslanπ​t+Dn​sinlanπ​t)sinlnπ​π
代入初始条件（1c）式，有
$u|_{t=0}=\sum_{n=1}^{+\infty}C_nsin\frac{n\pi}{l}x=\varphi(x) \\\frac{\partial u}{\partial t}|_{t=0}=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{an\pi}{l}D_nsin\frac{n\pi}{l}x=\psi(x)$u∣t=0​=n=1∑+∞​Cn​sinlnπ​x=φ(x)∂t∂u​∣t=0​=n=1∑+∞​lanπ​Dn​sinlnπ​x=ψ(x)
这两式正好是已知函数 $\varphi(x),\psi(x)$φ(x),ψ(x)在区间 $[0,l]$[0,l]的 $Fourier$Fourier正弦展开，由正弦展开的系数公式，可定出
$C_n=\frac{2}{l}\int_0^l\varphi(x)sin\frac{n\pi}{l}xdx \\D_n=\frac{2}{an\pi}\int_0^l\psi(x)sin\frac{n\pi}{l}xdx$Cn​=l2​∫0l​φ(x)sinlnπ​xdxDn​=anπ2​∫0l​ψ(x)sinlnπ​xdx
这样，变得混合问题（1）式的形式解
$u(t,x)=\sum_{n=1}^{+\infty}(\frac{2}{l}\int_0^l\psi(\xi)sin\frac{n\pi}{l}\xi d\xi ocs\frac{an\pi}{l}t+\frac{2}{an\pi}\int_0^l\psi(\xi)sin\frac{n\pi}{l}\xi d\xi sin \frac{an\pi}{l}t)sin\frac{n\pi}{l}x \tag{4}$u(t,x)=n=1∑+∞​(l2​∫0l​ψ(ξ)sinlnπ​ξdξocslanπ​t+anπ2​∫0l​ψ(ξ)sinlnπ​ξdξsinlanπ​t)sinlnπ​x(4)
从数学上可以证明，当 $\varphi(x),\psi(x)$φ(x),ψ(x)为 $[0,l]$[0,l]上足够光滑的函数（如 $\varphi \in C^3[0,l],\psi \in C^2[0,l]$φ∈C3[0,l],ψ∈C2[0,l]），且 $\varphi,\varphi''$φ,φ′′和 $\psi$ψ在端点为0时，（4）式右端级数收敛，且可逐项求导两次，从而保证了（4）式确实混合问题（1）式的古典解。还可用能量积分证明（1）式的解是唯一的、稳定的。

利用三角公式及 $\varphi(x)，\psi(x)$φ(x)，ψ(x)的正弦展开式，可以将 $u(t,x)$u(t,x)的级数表示式（4）改写为达朗贝尔公式，当然先要将 $\varphi(x),\psi(x)$φ(x),ψ(x)奇开拓到 $[-l,l]$[−l,l]，再周期开拓到R。

从物理上看，每个 $u_n(t,x)$un​(t,x)都保持弦的两个端点 $x=0,x=l$x=0,x=l不动，弦上其余各点则在平衡位置附近做简谐振动，振幅因点而异，为正弦曲线 $\alpha_n|sin\frac{n\pi}{l}x|$αn​∣sinlnπ​x∣。而各点的振动频率相同，均为 $\frac{an\pi}{l}$lanπ​，各点振动的位相 $\theta_n$θn​也相同，由系数 $C_n$Cn​与 $D_n$Dn​决定。称 $u_n(t,x)$un​(t,x)表示的这样一种运动为两端固定弦的固有振动（驻波），其振动频率 $\frac{an\pi}{l}$lanπ​为固有频率。弦的固有频率由弦长，弦的材料等弦本身固有特性确定，形成一个离散谱
$\frac{a\pi}{l},\quad \frac{2a\pi}{l},\quad ···,\quad \frac{na\pi}{l},···,$laπ​,l2aπ​,⋅⋅⋅,lnaπ​,⋅⋅⋅,
其中，最低的频率 $\frac{a\pi}{l}$laπ​为这条弦的基频，其余的固有频率都是基频的整数倍，称之为倍频。固有频率确定了弦的固有振动，即这根弦发出的声音的基本构成部分。每一个固有振动在任何时刻，弦的形状都是一条正弦曲线，且在 $x=0,\frac{l}{n},\frac{2l}{n},···,\frac{(n-1)l}{n}$x=0,nl​,n2l​,⋅⋅⋅,n(n−1)l​， $l$l点上保持不动。

解（4）式清楚地反映了两端固定弦的运动由一系列驻波叠加而成，每个驻波参与的成分取决于初始扰动，由于 $C_n,D_n\to 0$Cn​,Dn​→0，起主要作用的是低频部分。回顾整个解题过程，我们所做的就是把弦的复杂运动分解成一系列简单固有振动的叠加。