偏微分方程的数值解(六)：偏微分方程的 pdetool 解法

时间 2021-07-11

偏微分方程的数值解系列博文：

偏微分方程的数值解(一):定解问题 & 差分解法

1 图形界面解法简介

对于一般的区域，任意边界条件的偏微分方程，我们可以利用 MATLAB 中 pdetool 提供的偏微分方程用户图形界面解法。图形界面解法步骤大致上为：

（1）定义 PDE 问题，包括二维空间范围，边界条件以及 PDE 系数等。

（2）产生离散化之点，并将原 PDE 方程式离散化。

（3）利用有限元素法(finite element method；FEM)求解并显示答案。

在说明此解法工具之前，先介绍此 PDE 图形界面的菜单下方的功能图标(icon)按钮。

要利用 pdetool 接口求解之前，需先定义 PDE 问题，其包含三大部份：

（1）利用绘图(draw)模式，定义需要求解的问题的空间范围(domain)Ω 。

（2）利用 boundary 模式，指定边界条件。

（3）利用 PDE 模式，指定 PDE 系数，即输入 c，a，f 和 d 等 PDE 模式中的系数。

在定义 PDE 问题之后，可依以下两个步骤求解

（1）在 mesh 模式下，产生 mesh 点，以便将原问题离散化。

（2）在 solve 模式下，求解。

（3）最后，在 Plot 模式下，显示答案。

注意：

1. MATLAB 会以图形的方式展示结果，使用者亦可点选 plot 下之“parameters”功能，选择适当的方式显示图形及数据。例如用 3D 方式显示求解结果。参数设置见图 10，显示结果见图 11。

2. 另外，若使用者欲将结果输出到命令窗口中，以供后续处理，可利用 solve 功能项下之“export solution”指定变量名称来完成。

3. 如果求抛物型或双曲型方程的数值解，还需要通过“solve”菜单下的 “parameters…”选项设置初值条件。

4. 在上面定义边界条件和初始条件时，可以使用一些内置变量。

（1）在边界条件输入框中，可以使用如下变量：二维坐标 x 和 y，边界线段长度参数（s s 是以箭头的方向沿边界线段从 0 增加到 1），外法向矢量的分量 nx 和 ny（如果需要边界的切线方向，可以通过 tx=-ny 和 ty=nx 表示），解 u。

（2）在初值条件的输入框中，也可以输入用户定义的 MATLAB 可接受变量（p， e，t，x，y）的函数。

例 11 使用 PDETOOL 重新求例 8 的数值解。

例8 求解正方形区域{(x, y) | −1 ≤ x, y ≤ 1}上的热传导方程

边界条件为Dirichlet条件u = 0。

解这里是抛物型方程，其中c = 1, a = 0, f = 0, d = 1。

1）定义 PDE 问题，包括二维空间范围，边界条件以及 PDE 系数等。我们这里就省略了。

2）区域剖分以后，通过“Mesh”菜单下的“Export Mesh…”选项可以把 p，e，t 三个参数分别输出到工作间。

3）然后编写函数 fun1(x,y)如下：

function f=fun1(x,y);
f=zeros(length(x),1);
ix=find(x.^2+y.^2<0.16);
f(ix)=1;

其中的变量 x，y 是 MATLAB 可接受的内置变量。设置“solve”菜单下的“parameters…”选项如下：

时间框中输入：linspace(0,0.1,20)；

初值框中输入：fun1。

4）设置“plot"菜单下的“parameters…”选项如下：选择 Height(3-D plot) 和 Animation 两项。

5）用鼠标点一下工具栏上的“＝”按钮，就可以画出数值解的 3-D 图形。