数学分析笔记14：多元函数微分学

文章目录

• 偏导数与全微分
• 偏导数与全微分的概念
• 多元函数微分法则
• 高阶偏导数与高阶全微分
• 方向导数
• 高维泰勒公式
• 隐函数存在定理
• 单个方程情形
• 方程组情形
• 逆映射定理

偏导数与全微分

偏导数与全微分的概念

如今，咱们把导数和微分的概念，推广到多元函数的情形。只不过，在二维以上，函数的方向十分复杂，毫不只有左导数和右导数两个方向。然而，咱们能够先对某个变元求导数，称为偏导数。

定义14.1(偏导数) $f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$在 $(x_1^0,\cdots,x_n^0)$的某个邻域上有定义，若是对第 $i(1\le i \le n)$的变元，极限
$\lim_{\Delta x_i\to 0}{\frac{f(x_1^0,\cdots,x_{i-1}^0,x_i,x_{i+1}^0,\cdots,x_n^0)-f(x_1^0,\cdots,x_n^0)}{\Delta x_i}}$存在，称该极限为 $f(x_1,\cdots,x_n)$在 $(x_1^0,\cdots,x_n^0)$处对 $x_i$的偏导数，\记为 $\frac{\partial f(x_1^0,\cdots,x_n^0)}{\partial x_i}$或 $f_i(x_1^0,\cdots,x_n^0)$

若是 $f(x_1,\cdots,x_n)$在某个开集 $E$上每一个点对全部变元的偏导数都存在，那么，对各个变元的偏导数，都是这个开集上的一个 $n$元函数，一样能够讨论极限、连续性的等概念。
咱们再一元函数上还有微分的概念，在一元函数上，全微分定义成某点的"切线"，在二元函数上，全微分就应该是某点的切平面，在三维以上，就是切“超平面”，只不过，这时咱们没有几何直观能够参考。
一维上的直线能够表为 $y=a+bx$
二维上的平面可表为 $y=a+b_1x+b_2x$
推广到 $n$维上，超平面可表为 $y=a+\sum_{k=1}^{n}{b_kx_k}$
所谓全微分，就是在函数在某点附近，能够用一个超平面近似，即：
$f(x)=f(x_0)+\sum_{k=1}^n{b_k\Delta x_k}+o(||\Delta x||)$

定义14.2(全微分) $f(x_1,\cdots,x_n)$在 $x_0=(x_1^0,\cdots,x_n^0)$的某个邻域上有定义，若是 $f(x_1,\cdots,x_n)$可表为
$f(x_1,\cdots,x_n)=f(x_1^0,\cdots,x_n^0)+\sum_{k=1}^n{A_k(x_k-x_k^0)}+ o(||x-x_0||)$其中 $A_1,\cdots,A_n$和 $\Delta x = x-x_0$无关，则称 $f(x)$在 $x_0$处可微，超平面 $\sum_{k=1}^n{A_kdx_k}$称为 $f(x)$在 $x_0$处的全微分，记为 $df = \sum_{k=1}^n{A_kdx_k}$

定理14.1(可微的必要条件) $f(x_1,\cdots,x_n)$在 $x_0=(x_1^0,\cdots,x_n^0)$的某个邻域上有定义， $f(x_1,\cdots,x_n)$在 $x_0=(x_1^0,\cdots,x_n^0)$上可微，则 $f$在 $x_0=(x_1^0,\cdots,x_n^0)$对各变元可求偏导，而且：
$df = \sum_{k=1}^n{f_k(x_1^0,\cdots,x_n^0)dx_k}$

这由全微分的定义能够直接验证。其次，容易验证可微必连续。但就算n元函数在某点对各变元可求偏导且连续，也不必定可微。

例14.1 $f(x,y)= \begin{cases} \frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}}&x^2+y^2>0\\ 0&x=0,y=0 \end{cases}$在 $f(x,y)$在 $(0,0)$处连续且对各变元可求偏导，然而： $\lim_{(x,y)\to(0,0)}{\frac{f(x,y)}{\sqrt{x^2+y^2}}} =\lim_{(x,y)\to(0,0)}{\frac{xy}{x^2+y^2}}$极限不存在，所以， $f(x,y)$在 $(0,0)$点不可微

那么，知足何种条件可以可微呢？下面咱们给出一个充分条件：

定理14.2(可微的充分条件) $f(x_1,\cdots,x_n)$在 $x_0=(x_1^0,\cdots,x_n^0)$的某个邻域上有定义且对各变元可求偏导，而且各偏导在 $x_0$处连续，则 $f(x_1,\cdots,x_n)$在 $x_0$处可微

证：
$f(x_1,\cdots,x_n)-f(x_1^0,\cdots,x_n^0) =f(x_1,\cdots,x_n)-\\f(x_1^0,\cdots,x_n^0)+\sum_{k=1}^{n-1}{( -f(x_1^0,\cdots,x_k^0,x_{k+1},\cdots,x_n) +f(x_1^0,\cdots,x_k^0,x_{k+1},\cdots,x_n))}\\ =\sum_{k=1}^n{[f(x_1^0,\cdots,x_{k-1}^0,x_k,x_{k+1},\cdots,x_n) -f(x_1^0,\cdots,x_k^0,x_{k+1},\cdots,x_n)]}$ 由拉格朗日中值定理，存在 $\xi_k$介于 $x_k$和 $x_k^0$之间 $f(x_1,\cdots,x_n)=f(x_1^0,\cdots,x_n^0) +\sum_{k=1}^n{f_k(x_1^0,\cdots,x_{k-1}^0,\xi_k,x_{k+1},\cdots,x_n)\Delta x_k}\\ =\sum_{k=1}^n{f_k(x_1^0,\cdots,x_n^0)\Delta x_k} +\sum_{k=1}^n[f_k(x_1^0,\cdots,x_{k-1}^0,\xi_k,x_{k+1},\cdots,x_n)-f_k(x_1^0,\cdots,x_n^0)]\Delta x_k$考察余项： $\frac{f(x_1,\cdots,x_n)-f(x_1^0,\cdots,x_n^0)-\sum_{k=1}^n{f_k(x_1^0,\cdots,x_n^0)\Delta x_k}}{\sqrt{\sum_{k=1}^n{\Delta^2 x_k}}}\\ =\sum_{k=1}^n[f_k(x_1^0,\cdots,x_{k-1}^0,\xi_k,x_{k+1},\cdots,x_n)-f_k(x_1^0,\cdots,x_n^0)]\frac{\Delta x_k}{\sqrt{\sum_{i=1}^n\Delta^2 x_i}}$ $|\frac{\Delta x_k}{\sqrt{\sum_{i=1}^n\Delta^2 x_i}}|\le 1$所以： $|\frac{f(x_1,\cdots,x_n)-f(x_1^0,\cdots,x_n^0)-\sum_{k=1}^n{f_k(x_1^0,\cdots,x_n^0)\Delta x_k}}{\sqrt{\sum_{k=1}^n{\Delta^2 x_k}}}|\\ \le \sum_{k=1}^n|f_k(x_1^0,\cdots,x_{k-1}^0,\xi_k,x_{k+1},\cdots,x_n)-f_k(x_1^0,\cdots,x_n^0)|$再由偏导数的连续性，就有 $\lim_{(x_1,\cdots,x_n)\to(x_1^0,\cdots,x_n^0)}{|\frac{f(x_1,\cdots,x_n)-f(x_1^0,\cdots,x_n^0)-\sum_{k=1}^n{f_k(x_1^0,\cdots,x_n^0)\Delta x_k}}{\sqrt{\sum_{k=1}^n{\Delta^2 x_k}}}|}=0$所以， $f(x_1,\cdots,x_n)$在 $(x_1^0,\cdots,x_n^0)$处可微

咱们把偏导数连续称为连续可微。这样，可微、可导和连续性的关系能够归纳为：
(1)连续可微必定可微
(2)可微必定可求偏导数
(3)可微必定连续
(4)连续不必定可求偏导
(5)可求偏导不必定可微

多元函数微分法则

为了给出多元情形下的求导和微分法则，咱们首先给出向量值函数的全微分概念

定义14.3 $g(x_1,x_2,\cdots,x_n)=(g_1(x_1,\cdots,x_n),\cdots,g_m(x_1,\cdots,x_n))$是 $n$元 $m$维向量值函数，在 $(x_1^0,\cdots,x_n^0)$附近有定义，若是存在与 $(x_1,\cdots,x_n)$无关，仅与 $(x_1^0,\cdots,x_n^0)$有关的 $m$行 $n$列矩阵 $A$，记 $\Delta x = (x_1-x_1^0,\cdots,x_n-x_n^0)^T$，使得 $\left[\begin{matrix} g_1(x_1,\cdots,x_n)-g_1(x_1^0,\cdots,x_n^0)\\ \cdots\\ g_m(x_1,\cdots,x_n)-g_m(x_1^0,\cdots,x_n^0) \end{matrix}\right] =A\Delta x + \left[ \begin{matrix} o_1(||\Delta x||)\\ \cdots\\ o_m(||\Delta x||) \end{matrix} \right]$则称向量值函数 $g$在 $(x_1^0,\cdots,x_n^0)$处可微，矩阵 $A$称为 $g$在 $(x_1^0,\cdots,x_n^0)$处的Frechet导数。 $Adx$称为 $g$在 $(x_1^0,\cdots,x_n^0)$处的全微分。

实际上，由定义容易得出，若是向量值函数在 $(x_1^0,\cdots,x_n^0)$处可微的充要条件是每一个份量函数都在 $(x_1^0,\cdots,x_n^0)$处可微，而且，Frechet导数就等于：
$\left[\begin{matrix} \frac{\partial g_1(x_1^0,\cdots,x_n^0)}{\partial x_1}&\cdots&\frac{\partial g_1(x_1^0,\cdots,x_n^0)}{\partial x_n}\\ \cdots&\cdots&\cdots\\ \frac{\partial g_m(x_1^0,\cdots,x_n^0)}{\partial x_1}&\cdots&\frac{\partial g_m(x_1^0,\cdots,x_n^0)}{\partial x_n} \end{matrix}\right]$为了方便，咱们把Frechet导数记为 $g^\prime(x_0)$，对 $n$元函数来讲，Frechet导数就是 $n$维的行向量。实际上，Frechet导数就是一元导数的的一个推广，Frechet可导就等价于可微，在这层意义下，可微和可导是等价的。

定理14.3(线性性质) $g_1,g_2$是 $n$元 $m$维向量值函数而且都在 $(x_1^0,\cdots,x_n^0)$处可微，则
（1） $g_1+g_2$在 $(x_1^0,\cdots,x_n^0)$处可微，而且
$g_1^\prime(x_1^0,\cdots,x_n^0)+g_2^\prime(x_1^0,\cdots,x_n^0) =(g_1+g_2)^\prime(x_1^0,\cdots,x_n^0)$（2） $c$是任意实数， $cg_1$在 $(x_1^0,\cdots,x_n^0)$处可微，而且
$cg_1^\prime(x_1^0,\cdots,x_n^0) = (cg_1)^\prime(x_1^0,\cdots,x_n^0)$

这两个性质按照Frechet导数的定义是显然的。

定理14.4 $g$是 $n$元 $m$维向量值函数，而且在 $(x_1^0,\cdots,x_n^0)$处可微， $f$是 $n$元函数，而且在 $(x_1^0,\cdots,x_n^0)$处可微，则 $F=g(x_1,\cdots,x_n)f(x_1,\cdots,x_n)$在 $(x_1^0,\cdots,x_n^0)$处可微，而且
$F^\prime(x_1^0,\cdots,x_n^0)=g(x_1^0,\cdots,x_n^0)f^\prime(x_1^0,\cdots,x_n^0) +g^\prime(x_1^0,\cdots,x_n^0)f(x_1^0,\cdots,x_n^0)$

在理解定理14.4时，须要注意的是 $fg$是 $n$元 $m$维向量值函数，其Frechet导数是 $m$行 $n$列矩阵，等式右边第一项中： $g$是 $m$行的列向量， $f^\prime$是 $n$列的行向量，而第二项是一个数乘的形式。经过定理14.4，多元导数就和一元导数在乘法运算法则上统一块儿来了。下面证实定理14.4

证：
首先 $g(x_1,\cdots,x_n)f(x_1,\cdots,x_n)-g(x_1^0,\cdots,x_n^0) f(x_1^0,\cdots,x_n^0)\\ =g(x_1,\cdots,x_n)f(x_1,\cdots,x_n)-g(x_1^0,\cdots,x_n^0)f(x_1,\cdots,x_n)\\ +g(x_1^0,\cdots,x_n^0)f(x_1,\cdots,x_n)-g(x_1^0,\cdots,x_n^0) f(x_1^0,\cdots,x_n^0)$其次，由可微性，就有 $g(x_1,\cdots,x_n)-g(x_1^0,\cdots,x_n^0)= g^\prime(x_1^0,\cdots,x_n^0)\Delta x + o_1(||\Delta x||)$ $f(x_1,\cdots,x_n)-f(x_1^0,\cdots,x_n^0)= f^\prime(x_1^0,\cdots,x_n^0)\Delta x + o_2(||\Delta x||)$再令 $h(x_1,\cdots,x_n)=f(x_1,\cdots,x_n)o_1(||\Delta x||) \\+[f(x_1,\cdots,x_n)-f(x_1^0,\cdots,x_n^0)]\Delta x +g(x_1^0,\cdots,x_n^0)o_2(||\Delta x||)$因为 $|\frac{\Delta x_k}{||\Delta x||}|\le 1$再由 $f(x_1,\cdots,x_n)$
在 $(x_1^0,\cdots,x_n^0)$处的连续性，就有 $\lim_{||\Delta x|| \to 0}{\frac{[f(x_1,\cdots,x_n)-f(x_1^0,\cdots,x_n^0)]\Delta x}{||\Delta x||}}=0$所以 $\lim_{||\Delta x|| \to 0}{\frac{h(x_1,\cdots,x_n)}{||\Delta x||}}=0$而 $F(x_1,\cdots,x_n)-F(x_1^0,\cdots,x_n^0)=[g(x_1^0,\cdots,x_n^0)f^\prime(x_1^0,\cdots,x_n^0) \\+g^\prime(x_1^0,\cdots,x_n^0)f(x_1^0,\cdots,x_n^0)]\Delta x + h(x_1,\cdots,x_n)$

接下来咱们给出多元下的复合函数求导法则：

定理14.5 $f$是 $n$元 $m$维向量函数，在 $(x_1^0,\cdots,x_n^0)$处可导， $(y_1^0,\cdots,y_m^0)=f(x_1^0,\cdots,x_n^0)$, $g$是 $m$元 $k$维向量函数，在 $(y_1^0,\cdots,y_m^0)$处可导，则 $f(g(x_1,\cdots,x_n))$在 $(x_1^0,\cdots,x_n^0)$处可导，而且
$(g(f(x_1^0,\cdots,x_n^0)))^\prime = g^\prime(f(x_1^0,\cdots,x_n^0))f^\prime(x_1^0,\cdots,x_n^0)$

证：
$g$在 $(y_1^0,\cdots,y_m^0)$可微，则 $\tag{1} g(y_1,\cdots,y_m)-g(y_1^0,\cdots,y_m^0)=\\ g^\prime(y_1^0,\cdots,y_m^0)\Delta y + o_1(||\Delta y||)$再由 $f$在 $(x_1^0,\cdots,x_n^0)$处可微，则 $\tag{2} f(x_1,\cdots,x_n)-(y_1^0,\cdots,y_m^0)= f^\prime(x_1^0,\cdots,x_n^0)\Delta x + o_2(||\Delta x||)$而 $\frac{||f(x_1,\cdots,x_n)-(y_1,\cdots,y_m)||}{||\Delta x||} =||\frac{f^\prime(x_1^0,\cdots,x_n^0)\Delta x + o_2(||\Delta x||)}{||\Delta x||}||$由范数的性质，有 $||\frac{f^\prime(x_1^0,\cdots,x_n^0)\Delta x + o_2(||\Delta x||)}{||\Delta x||}|| \le ||\frac{f^\prime(x_1^0,\cdots,x_n^0)\Delta x}{||\Delta x||}||+||\frac{o_2(||\Delta x||)}{||\Delta x||}||$而 $\lim_{||\Delta x||\to 0}{\frac{o_2(||\Delta x||)}{||\Delta x||}} = 0$同时设 $f_{ij}(x_1^0,\cdots,x_n^0)$是 $f$的第 $i$个份量对第 $j$个变元的偏导数，则 $f^\prime(x_1^0,\cdots,x_n^0)\Delta x= \left[ \begin{matrix} \sum_{i=1}^n{f_{1i}(x_1^0,\cdots,x_n^0)\Delta x_i}\\ \cdots\\ \sum_{i=1}^n{f_{mi}(x_1^0,\cdots,x_n^0)\Delta x_i} \end{matrix} \right]$对任意的 $1\le i \le m$，都要 $|\sum_{j-1}^n f_{ij}(x_1^0,\cdots,x_n^0)\Delta x_j| \le \sqrt{\sum_{j=1}^n{f_{ij}^2(x_1^0,\cdots,x_n^0)}} ||\Delta x||$所以 $||f^\prime(x_1^0,\cdots,x_n^0)\Delta x|| \le \sqrt{\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}{f_{ij}^2(x_1^0,\cdots,x_n^0)}}||\Delta x||$ $||\frac{f^\prime(x_1^0,\cdots,x_n^0)\Delta x}{||\Delta x||}|| \le \sqrt{\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}{f_{ij}^2(x_1^0,\cdots,x_n^0)}}$所以， $||\frac{f^\prime(x_1^0,\cdots,x_n^0)\Delta x + o_2(||\Delta x||)}{||\Delta x||}||$局部有界，所以 $\lim_{||\Delta x||\to 0}{||\frac{f^\prime(x_1^0,\cdots,x_n^0)\Delta x + o_2(||\Delta x||)}{||\Delta x||}||}=0$再将(2)代入(1)就能够证得结论

考虑向量函数和多元函数复合的情形： $g(y_1,\cdots,y_m)$是 $m$元函数， $f(x_1,\cdots,x_n)$是 $n$元 $m$维向量函数， $g$在 $f(x_1^0,\cdots,x_n^0)$处可微， $f$在 $(x_1^0,\cdots,x_n^0)$处可微，那么 $g(f(x_1,\cdots,x_n))$在 $(x_1^0,\cdots,x_n^0)$处可微。
咱们记 $h=g(f)$，设 $f=(f_1,\cdots,f_m)$，应用复合函数求导法则，就有： $\frac{\partial h(x_1^0,\cdots,x_n^0)}{\partial x_i} =\sum_{j=1}^m{\frac{\partial f_j(x_1^0,\cdots,x_n^0)}{\partial x_i} \frac{\partial g(y_1^0,\cdots,y_m^0)}{\partial y_j}}$这称为多元函数求导的链式法则

高阶偏导数与高阶全微分

高阶偏导就是偏导的偏导，只不过，在高维情形下，由求偏导次序能否交换的问题。以二元函数为例， $f(x,y)$的二阶偏导有四个：
$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}$表示对 $x$求两次偏导， $\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}$表示先对 $x$求偏导，再对 $y$求偏导，其余两个也能够相似写出。
问题在于 $\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}=\frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}$是否成立？下面咱们证实：在高阶偏导数连续的条件下，偏导次序是能够交换的。

定理14.6 $f(x,y)$在 $(x_0,y_0)$的某个邻域上可求二阶偏导数，而且 $\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y},\frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}$都在 $(x_0,y_0)$处连续，则 $\frac{\partial^2 f(x_0,y_0)}{\partial x\partial y}= \frac{\partial^2 f(x_0,y_0)}{\partial y\partial x}$

证：
首先 $\frac{[f(x,y)-f(x,y_0)]-[f(x_0,y)-f(x_0,y_0)]}{(x-x_0)(y-y_0)} = \frac{[f(x,y)-f(x_0,y)]-[f(x,y_0)-f(x_0,y_0)]}{(x-x_0)(y-y_0)}$由拉格朗日中值定理，存在 $(0,1)$之间的正实数 $\theta_1$和 $\theta_2$ $\frac{[f(x,y)-f(x,y_0)]-[f(x_0,y)-f(x_0,y_0)]}{(x-x_0)(y-y_0)} \\= \frac{ f_x(x_0+\theta_1(x-x_0),y)-f_x(x_0+\theta_1(x-x_0),y_0) }{y-y_0}\\=f_{xy}(x_0+\theta_1(x-x_0),y_0+\theta_2(y-y_0))$ $h(x,y)=\frac{[f(x,y)-f(x,y_0)]-[f(x_0,y)-f(x_0,y_0)]}{(x-x_0)(y-y_0)}$ $h(x,y)$的全面极限和两个累次极限存在，相等，这样就能够证得偏导次序可交换

咱们假设二元函数在 $(x_0,y_0)$的某个邻域上各阶偏导数都存在，那么，各阶偏导数都在 $(x_0,y_0)$处连续（由于连续可微），考察函数： $h(t)=f(x_0+t,y_0+t)$，则 $h(t)$在 $t=0$处的各阶偏导数：
$h^{(k)}(0)=\sum_{i=0}^{k}{C_k^i \frac{\partial^k f(x_0,y_0)}{\partial x^i \partial y^{(k-i)}}}$这就和二项式定理相似，其余高阶导数的求法，大多用到数学概括法，这里再也不赘述。

方向导数

在一元状况下，导数有左导数和右导数，而在多元情形下，因为方向远远不止两个，但咱们仍是能够定义出方向导数。
方向向量就定义为 $d=(d_1,\cdots,d_n)$，其中 $\sqrt{\sum_{k=1}^n{d_k^2}}=1$， $d$就称为方向向量。方向导数就定义为极限：
$\frac{\partial f(x)}{\partial d}=\lim_{t\to 0^+}{\frac{f(x+td)-f(x)}{t}}$方向导数该如何计算呢？若是 $f(x)$在 $f(x_0)$处可微，那么
$f(x_0+td)-f(x_0)=tf^\prime(x_0)d^T+o(t)$这样
$\frac{\partial f(x_0)}{\partial d} = f^\prime(x_0)d^T$实际上就是偏导按照方向进行加权。

高维泰勒公式

高维泰勒公式，就是 $f(x_0+t(x-x_0))$在 $0$处的泰勒公式，再令 $t=1$，高维泰勒公式形式比较复杂，在三阶以上很难写出通常的形式。不过，咱们这里给出零阶，一阶，二阶的泰勒公式的形式，在多元函数极值判断中起到重要的做用。咱们称矩阵 $H_f(x_0) = \left[ \begin{matrix} f_{11}(x_0)&f_{12}(x_0)&\cdots&f_{1n}(x_0)\\ f_{21}(x_0)&f_{22}(x_0)&\cdots&f_{2n}(x_0)\\ \cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\ f_{n1}(x_0)&f_{n2}(x_0)&\cdots&f_{nn}(x_0) \end{matrix}\right]$