数学分析笔记17：曲线积分与曲面积分

文章目录

• 第一型曲线积分与曲面积分
• 第一型曲线积分
• 曲线的弧长
• 第一型曲线积分的物理背景及定义
• 第一型曲线积分的计算公式
• 第一型曲面积分
• 第一型曲面积分的物理背景及定义
• 第一型曲面积分的计算公式
• 第二型曲线积分与曲面积分
• 第二型曲线积分
• 第二型曲线积分的物理背景及定义
• 第二型曲线积分的计算方法
• 两类曲线积分的联系
• 第二型曲面积分
• 曲面的定向
• 第二型曲面积分的物理背景及定义
• 第二型曲面积分的计算方法
• 积分之间的联系
• 格林公式
• 高斯公式
• 斯托克斯公式
• 积分与路径无关

第一型曲线积分与曲面积分

第一型曲线积分

曲线的弧长

在定积分的几何应用一节咱们已经介绍了曲线弧长公式，如今，咱们对曲线的弧长做一个完整的论述，以引出第一型曲线积分的定义。

定义17.1 对1元 $n$维向量函数 $\phi(t)=(\phi_1(t),\cdots,\phi_n(t)),t\in [a,b]$，若是 $\phi(t)$是连续的，则称 $\gamma:\{\phi(t):t\in[a,b]\}$是 $R^n$上的连续曲线，若是对于 $t_1,t_2\in[a,b],t_1\neq t_2,t_1\neq a或t_2\neq b$，都有 $\phi(t_1)\neq \phi(t_2)$，则称 $\gamma$为若当曲线或简单曲线，若是 $\gamma$是简单曲线同时 $\phi(a)=\phi(b)$，则称 $\gamma$为若当闭曲线，若是 $\phi(t)$在 $[a,b]$上有连续的导数，则称 $\gamma$为光滑的曲线

假设曲线 $\gamma$的起点和终点分别为 $A,B$，在中间取 $n$个点 $A_1,\cdots,A_n$，可将 $\gamma$分为 $n+1$段。令 $A_0=A,A_{n+1}=B$，链接 $A_{k-1},A_k,k=1,\cdots,n+1$，获得一段内接折线。之内接折线的长度做为曲线弧长的估计。 $L\approx \sum_{k=1}^{n+1}||A_{k}-A_{k-1}||$这里 $A_k(k=0,\cdots,n+1)$视为向量。因为两点之间线段最短，若是取另一个分划 $P_2:A_0^\prime=A,A_1^\prime,\cdots,A_m^\prime,A_{m+1}^\prime=B$，若是 $P_1:A_0,\cdots,A_{n+1}$都在 $P_2$内，则称 $P_2$是 $P_1$的加细，则 $\sum_{k=1}^{m+1}||A_k^\prime-A_{k-1}^\prime||\ge \sum_{k=1}^{n+1}||A_{k}-A_{k-1}||$不断加细，若是有一个上确界，那么这个上确界就称为是曲线的弧长，以下图。

若是 $A_1^\prime$在 $A_0,A_1$之间，那么必有 $||A_1^\prime-A_0||+||A_1-A_1^\prime||\ge ||A_1-A_0||$。这就是为何 $\sum_{k=1}^{m+1}||A_k^\prime-A_{k-1}^\prime||\ge \sum_{k=1}^{n+1}||A_{k}-A_{k-1}||$

定义17.2 $\gamma$是一段 $R^n$上的连续曲线，若是上确界 $L=\sup_{\Delta:A_0,\cdots,A_n,\cdots,A_{n+1}是\gamma的分划}\sum_{k=1}^{n+1}||A_k-A_{k-1}||$存在，则称 $\gamma$为可求长曲线，其称 $L$为 $\gamma$的弧长

在定积分一节中，咱们求弧长的办法是，对连续曲线 $\gamma:\phi(t)=(\phi_1(t),\cdots,\phi_n(t)),t\in[a,b]$对 $[a,b]$的分划 $\Delta:a=t_0<\cdots<t_n<t_{n+1}=b$，则 $L=\lim_{\lambda(\Delta)\to 0}\sum_{k=1}^{n+1}||\phi(t_k)-\phi(t_{k-1})||$这个公式和定义17.2形式上不是彻底一致的，但下面咱们将证实这两个定义的彻底相同的。

定理17.1 $\gamma:\phi(t),a\le t\le b$是 $R^n$的一段可求长曲线， $L$是其弧长，则 $L=\lim_{\lambda(\Delta)\to 0}\sum_{k=1}^{n+1}||\phi(t_k)-\phi(t_{k-1})||$
该定理的过程与达布定理及其相似。

证：
由 $L$的定义，对任意的 $\varepsilon>0$，存在分划 $\Delta_0:a=t_0^{(0)}<t_1^{(0)}<\cdots<t_m^{(0)}<t_{m+1}^{(0)}=b$，知足 $L\ge \sum_{k=1}^{m+1}||\phi(t^{(0)}_{k})-\phi(t^{(0)}_{k-1})||>L-\frac{\varepsilon}{2}$因为 $\phi(t)$在 $[a,b]$上连续，则 $\phi(t)$在 $[a,b]$上一致连续，存在 $\delta>0$，当 $x_1,x_2\in [a,b]$， $|x_1-x_2|<\delta$时，就有 $||\phi(x_2)-\phi(x_1)||<\frac{\varepsilon}{2m(m+1)}$对任意的分划 $\Delta:a=t_0<t_1<\cdots<t_s=b$，再设 $\Delta^\prime=\Delta_0\cup\Delta:a=t_0^\prime<t_1^\prime<\cdots<t_p^\prime<t_{p+1}^\prime=b$，则 $\begin{aligned} L\ge& \sum_{k=1}^{p+1}||\phi(t_k^\prime)-\phi(t_{k-1}^\prime)||\\\ge &\sum_{k=1}^{m+1}||\phi(t^{(0)}_{k})-\phi(t^{(0)}_{k-1})||>L-\frac{\varepsilon}{2} \end{aligned}$从而 $\left|\sum_{k=1}^{p+1}||\phi(t_k^\prime)-\phi(t_{k-1}^\prime)||-L\right|<\frac{\varepsilon}{2}$只要 $\lambda(\Delta)<\delta$， $\Delta$中至多有 $m$个小区间插入了 $\Delta_0$的分点，一个小区间至多插入 $m$个 $\Delta_0$的分点，从而 $\begin{aligned} &\left|\sum_{k=1}^{p+1}||\phi(t^\prime_{k})-\phi(t^\prime_{k-1})||-\sum_{k=1}^{s+1}||\phi(t_{k})-\phi(t_{k-1})||\right|\\ =&\sum_{k=1}^{p+1}||\phi(t^\prime_{k})-\phi(t^\prime_{k-1})||-\sum_{k=1}^{s+1}||\phi(t_{k})-\phi(t_{k-1})||\\ <&m(m+1)\frac{\varepsilon}{2m(m+1)}=\frac{\varepsilon}{2} \end{aligned}$从而 $\begin{aligned} &\left|\sum_{k=1}^{s+1}||\phi(t_{k})-\phi(t_{k-1})||-L\right|\\ \le&\left|\sum_{k=1}^{p+1}||\phi(t^\prime_{k})-\phi(t^\prime_{k-1})||-\sum_{k=1}^{s+1}||\phi(t_{k})-\phi(t_{k-1})||\right|\\ +&\left|\sum_{k=1}^{p+1}||\phi(t^\prime_{k})-\phi(t^\prime_{k-1})||-L\right|<\varepsilon \end{aligned}$所以 $L=\lim_{\lambda(\Delta)\to 0}\sum_{k=1}^{n+1}||\phi(t_k)-\phi(t_{k-1})||$

模仿定积分几何应用中 $R^2$光滑曲线弧长的求法，能够证实 $R^n$中的光滑曲线 $\gamma:\gamma(t),t\in[a,b]$都是可求长曲线，而且 $L=\int_a^b||\gamma^\prime(t)||dt$因而，若是连续曲线由有限段光滑曲线拼接而成，那么该连续曲线也是可求长曲线。

第一型曲线积分的物理背景及定义

对于 $R^3$上的一条细钢丝 $\gamma$，在其上定义了一个密度函数 $\rho(x,y,z)$，怎么求其质量呢？若是钢丝是均匀的，那么其质量应该是 $\rho.L(\gamma)$，其中， $\rho$为钢丝的密度， $L(\gamma)$是钢丝的长度。若是钢丝不是均匀的，能够采起微元法：将钢丝分解为若干段小钢丝 $\gamma_1,\cdots,\gamma_n$，只要每段钢丝的弧长足够小，若是 $\rho$是连续的，在每段小钢丝就能够近似地视为均匀的小钢丝，任取 $\xi_k\in \gamma_k(k=1,\cdots,n)$，则估计其质量为 $m(\gamma)\approx\sum_{k=1}^n\rho(\xi_k)L(\gamma_k)$当钢丝越分越细时，偏差愈来愈小，则小钢丝的质量就为 $m(\gamma)=\lim_{\lambda(\Delta)\to 0}\sum_{k=1}^n\rho(\xi_k)L(\gamma_k)$其中， $\displaystyle\lambda(\Delta)=\max_{1\le i\le n}L(\gamma_k)$，求解的思路和定积分是相同的，不一样的是如今是对曲线的积分。对以上物理背景进行抽象，就获得第一型曲线积分的定义。首先，若是 $\gamma$是可求长曲线，则连续曲线 $\gamma_k\subseteq \gamma$也是可求长的，这由可求长曲线的定义是容易看出的¹。

定义17.3 $\gamma$是 $R^n$上一段可求长曲线，起点和终点分别为 $A,B$， $\rho(x)$是 $\gamma$上的函数，若是存在实数 $I$，对任意的 $\varepsilon>0$，存在 $\delta>0$，从 $A$到 $B$任取 $A=A_0,A_1,\cdots,A_n,A_{n+1}=B$，只要 $\displaystyle\lambda=\max_{1\le i\le n+1}L(A_{i-1}A_i)<\delta$，任取 $\xi_k\in A_{k-1}A_k(k=1,\cdots,n+1)$，就有 $\left|\sum_{k=1}^{n+1}\rho(\xi_k)L(A_{k-1}A_k)-I\right|<\varepsilon$则称 $\rho$在 $\gamma$上可积， $I$为 $\rho$在 $\gamma$上的第一型曲线积分，记为 $\displaystyle\int_\gamma f(x)ds$

第一型曲线积分和定积分、重积分同样，有线性性质，不等式性质，区间可加性。

定理17.2 $\gamma$是 $R^n$上的可求长曲线， $f_1,f_2$在 $\gamma$上可积，则对于任意的实数 $\alpha,\beta$， $\alpha f_1+\beta f_2$在 $\gamma$上也可积，而且 $\int_\gamma (\alpha f_1(x)+\beta f_2(x))ds=\alpha\int_\gamma f_1(x)ds+\beta\int_\gamma f_2(x)ds$

定理17.3 $\gamma$是 $R^n$上的可求长曲线， $f(x)=1,x\in \gamma$在 $R^n$上可积，而且 $\int_\gamma f(x)ds = L(\gamma)$

定理17.4 $\gamma$是 $R^n$上的可求长曲线， $f_1,f_2$在 $\gamma$上可积，而且 $f_1(x)\le f_2(x)\quad x\in \gamma$，则 $\int_\gamma f_1(x)ds \le \int_\gamma f_2(x)ds$

定理17.5 $\gamma$是 $R^n$上的可求长曲线，起点和终点分别为 $A,B$，取一个分点 $C$， $f$在 $\gamma$上可积，则 $f$在 $AC$段和 $CB$段均可积，而且 $\int_{\gamma}f(x)ds=\int_{AC}f(x)ds+\int_{CB}f(x)ds$

第一型曲线积分的计算公式

第一型曲线积分的计算也是经过定积分进行。

定理17.6 光滑曲线 $\gamma:\phi(t),t\in[a,b]$，设 $\phi^\prime(t)\neq 0$， $f(x)$在 $\gamma$上连续，则 $f(x)$在 $\gamma$上可积，而且 $\int_\gamma f(x)ds=\int_a^b f(\phi(t))||\phi^\prime(t)||dt$

证：
令 $\displaystyle S(x_1,x_2)=\int_{x_1}^{x_2}||\phi^\prime(t)||dt$，则设 $\displaystyle m=\min_{t\in[a,b]}||\phi^\prime(t)||,M=\max_{t\in[a,b]}||\phi^\prime(t)||$，有 $m>0$²，所以 $m(x_2-x_1)\le S(x_1,x_2)\le M(x_2-x_1)$对 $\Delta:a=t_0<t_1<\cdots<t_n=b$，对应 $\gamma$的分划 $\Delta^\prime: A_0=\phi(a),A_1=\phi(t_1),\cdots,A_n=\phi(t_n)=B$，由上式能够看出， $\lambda(\Delta^\prime)\to 0$的充要条件是 $\lambda(\Delta)\to 0$³。对任意的分划 $\Delta:a=t_0<\cdots<t_n=b$，任取 $\xi_k\in[t_{k-1},t_k](k=1,\cdots,n)$，由积分中值定理，存在 $\zeta_k\in[t_{k-1},t_k](k=1,\cdots,n)$，有 $\begin{aligned} &\sum_{k=1}^nf(\xi_k)[S(t_k)-S(t_{k-1})]=\sum_{k=1}^nf(\xi_k)\int_{t_{k-1}}^{t_k}||\phi^\prime(t)||dt\\ =&\sum_{k=1}^nf(\xi_k)||\phi^\prime(\zeta_k)||\Delta t_k \end{aligned}$ $\forall \varepsilon>0$，设 $\displaystyle M=\max_{t\in[a,b]}|f(\phi(t))|$，因为 $||\phi^\prime(t)||$在 $[a,b]$上一致连续，存在 $\delta_1>0$，对任意的 $x_1,x_2\in[a,b]$，只要 $|x_1-x_2|<\delta_1$，就有 $\left|||\phi^\prime(x_1)||-||\phi^\prime(x_2)||\right|<\frac{\varepsilon}{2M(b-a)}$令 $\displaystyle I=\int_a^bf(\phi(t))||\phi^\prime(t)||dt$，存在 $\delta_2>0$，就有 $\left|\sum_{k=1}^nf(\phi(\xi_k))||\phi^\prime(\xi_k)||\Delta t_k-I\right|<\frac{\varepsilon}{2}$只要 $\lambda(\Delta)<\delta_0=\min(\delta_1,\delta_2)$，就有 $\begin{aligned} &\left|\sum_{k=1}^nf(\phi(\xi_k))||\phi^\prime(\xi_k)||\Delta t_k-\sum_{k=1}^nf(\phi(\xi_k))||\phi^\prime(\zeta_k)||\Delta t_k\right|\\ \le&\sum_{k=1}^n|f(\phi(\xi_k))||||\phi^\prime(\xi_k)||-||\phi^\prime(\zeta_k)|||\Delta t_k\\ \le&M(b-a)\frac{\varepsilon}{2M(b-a)}=\frac{\varepsilon}{2} \end{aligned}$则 $\begin{aligned} &\left|\sum_{k=1}^nf(\phi(\xi_k))||\phi^\prime(\zeta_k)||\Delta t_k-I\right|\\ \le&\left|\sum_{k=1}^nf(\phi(\xi_k))||\phi^\prime(\xi_k)||\Delta t_k-I\right|+\\&\left|\sum_{k=1}^nf(\phi(\xi_k))||\phi^\prime(\xi_k)||\Delta t_k-\sum_{k=1}^nf(\phi(\xi_k))||\phi^\prime(\zeta_k)||\Delta t_k\right|\\ <&\varepsilon \end{aligned}$所以 $f(x)$在 $\gamma$上可积，而且 $\int_\gamma f(x)ds=\int_a^b f(\phi(t))||\phi^\prime(t)||dt$

由第一型曲线积分的区间可加性，咱们就能够计算逐段光滑的曲线上的曲线积分。计算第一型曲线积分的第一步，首先是要写出曲线的参数方程，而后再套用以上公式便可。

例17.1 计算 $\displaystyle \int_\gamma(x^{\frac{4}{3}}+y^{\frac{4}{3}})ds$，其中 $\gamma$为曲线 $x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}=a^{\frac{2}{3}}(a>0)$

解：
将 $\gamma$写成参数方程形式 $\begin{cases} x=a\cos^3t\\ y=a\sin^3t \end{cases}$其中 $t\in[-\pi,\pi]$则 $\begin{cases} x^\prime=-3a\sin t\cos^2t\\ y^\prime=3a\cos t\sin^2t \end{cases}$则 $\sqrt{x^{\prime2}+y^{\prime2}}=3a|\sin t\cos t|$则 $\begin{aligned} &\int_\gamma(x^{\frac{4}{3}}+y^{\frac{4}{3}})ds=\int_{-\pi}^\pi{a^{\frac{4}{3}}}(\sin^4t+\cos^4t)(3a|\sin t\cos t|)dt\\ =&3a^{\frac{7}{3}}\int_{-\pi}^\pi(\sin^4t+\cos^4t)|\sin t\cos t|dt =4a^{\frac{7}{3}} \end{aligned}$

例17.2 求 $\displaystyle \int_Lxyds$，其中 $L$为球面 $x^2+y^2+z^2=a^2$与平面 $x+y+z=0$的交线

解：
为了写出 $L$的参数方程，咱们首先要求出 $L$在 $Oxy$平面上的投影，联立 $\begin{cases} x^2+y^2+z^2=a^2\\ x+y+z=0 \end{cases}$消去 $z$，获得 $x^2+y^2+(-x-y)^2=2x^2+2xy+2y^2=a^2$经过配方，获得 $2(x+\frac{y}{2})^2+\frac{3}{2}y^2=a^2$经过变数替换后投影能够变换为椭圆，不管如何，从以上方程咱们能够令 $\begin{cases} x+\frac{y}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}a\cos t\\ y=\sqrt{\frac{2}{3}}a\sin t\\ z=-x-y \end{cases}$由此就能够获得 $L$的参数方程 $\begin{cases} x=\frac{\sqrt{2}}{2}a\cos t-\frac{\sqrt{6}}{6}a\sin t\\ y=\frac{\sqrt{6}}{3}a\sin t\\ z=-\frac{\sqrt{2}}{2}a\cos t-\frac{\sqrt{6}}{6}a\sin t \end{cases}$其中 $t\in [-\pi,\pi]$，则 $\sqrt{x^{\prime2}+y^{\prime2}+z^{\prime2}}=a$从而 $\begin{aligned} \int_Lxyds=&a\int_{-\pi}^\pi(\frac{\sqrt{2}}{2}a\cos t-\frac{\sqrt{6}}{6}a\sin t)(\frac{\sqrt{6}}{3}a\sin t)dt\\ =&-\frac{a^3}{3}\int_{-\pi}^\pi \sin^2tdt=-\frac{a^3\pi}{3} \end{aligned}$

例17.3 计算 $\displaystyle \int_L(xy+xz+yz)ds$， $L$同例17.2

解：
注意到 $L$上 $x,y,z$的地位是相同，好比，求解 $\displaystyle \int_Lxzds$，将参数方程写成 $\begin{cases} x=\frac{\sqrt{2}}{2}a\cos t-\frac{\sqrt{6}}{6}a\sin t\\ z=\frac{\sqrt{6}}{3}a\sin t\\ y=-\frac{\sqrt{2}}{2}a\cos t-\frac{\sqrt{6}}{6}a\sin t \end{cases}$再代入就能够获得 $\displaystyle \int_Lxzds=-\frac{a^3\pi}{3}$，从而 $\int_L(xy+xz+yz)ds=-a^3\pi$

例17.4 计算 $\displaystyle \int_L\sqrt{2y^2+z^2}ds$，其中 $L$是 $x^2+y^2+z^2=a^2(a>0)$与 $x=y$的交线

解：
在 $L$上，有 $2y^2+z^2=a^2$，有 $\int_L\sqrt{2y^2+z^2}ds=a^2\int_Lds=\pi a^2$

第一型曲面积分

第一型曲面积分的物理背景及定义

同第一型曲面积分的物理背景相似，第一型曲面积分的物理背景是空间曲面的质量。若是 $S$是可求面积的均匀的空间曲面，设其密度为 $\rho$，那么 $S$的质量为 $\rho|S|$，其中 $|S|$是 $S$的面积。但若是 $S$不是均匀的空间区间，在 $S$上定义了密度函数 $\rho(x,y,z)$，能够将 $S$划分为可求面积的小区面块 $S_1,\cdots,S_n$，只要 $\displaystyle\max_{1\le i \le n}diam(S_i)$足够小，由一致连续性， $S_1,\cdots,S_n$均可以视为均匀曲面，任取 $\xi_k\in S_k(k=1,\cdots,n)$，则估计其质量为 $\displaystyle m(S)\approx\sum_{k=1}^n\rho(\xi_k)|S_k|$，当 $\displaystyle\max_{1\le i \le n}diam(S_i)\to 0$时，若是该和数有极限，则该极限为 $S$的质量。

定义17.4 设 $S$是一张可求面积的曲面，将 $S$分割为可求面积的小曲面块 $S_1,\cdots,S_n$，记该分划为 $\Delta$，定义 $\lambda(\Delta)=\max_{1\le i \le n}diam(S_i)$ $f(x)$是 $S$上的函数，若是存在实数 $I$，对任意的 $\varepsilon>0$，存在 $\delta>0$，对任意的分划 $\Delta:S_1,\cdots,S_n$，只要 $\lambda(\Delta)<\delta$，任取 $\xi_k\in S_k(k=1,\cdots,n)$，都有 $\left|\sum_{k=1}^nf(\xi_k)|S_k|-I\right|<\varepsilon$则称 $f$在 $S$上可积， $I$称为 $f$在 $S$上的第一型曲面积分，记为 $\displaystyle \iint_S f(x)ds$

一样能够写出曲面积分的性质：线性，不等式，可加性等，这与曲线积分比较相似。

第一型曲面积分的计算公式

关于第一型曲面积分的存在性，能够模仿定积分和重积分的可积性理论，创建起曲面积分的可积性理论，就能够证实以下命题：

命题17.1 $f(x,y,z)$在光滑曲面 $S$上连续，则 $f(x,y,z)$在 $S$上可积

下面咱们给出第一型曲面积分的计算公式：

定理17.6 $f(x,y,z)$在光滑曲面 $\begin{cases} x=x(u,v)\\ y=y(u,v)\\ z=z(u,v) \end{cases}$上连续，其中 $(u,v)\in D$， $D$为可求面积的有界闭区域，其中 $r_u^\prime\times r_v^\prime\neq 0$，则 $\iint_S f(x,y,z)dS = \int_D f(x(u,v),y(u,v),z(u,v))||r_u^\prime\times r_v^\prime||dudv$

该定理的证实和曲线积分的证实是相似的，须要用到重积分的积分中值定理，这里就再也不赘述了。下面给出第一型曲面积分的几个算例。

例17.5 （利用曲面方程化简被积函数） 求解曲面积分 $\displaystyle \iint_S \frac{dS}{x^2+y^2}$，其中 $S$为柱面 $x^2+y^2=R^2$被平面 $z=0$和 $z=H$所截的部分

解：
由曲面方程为 $x^2+y^2=R^2$，获得 $\iint_S\frac{dS}{x^2+y^2}=\frac{1}{R^2}\iint_S dS=\frac{2RH\pi}{R^2}=\frac{2H\pi}{R}$

例17.6 求解曲面积分 $\displaystyle \iint_S z^2 dS$，其中 $S$为 $x=u\cos v,y=u\sin v,z= v(0\le u\le a,0\le v\le 2\pi)$

解：
$r_u^\prime=(\cos v,\sin v,0),r_v^\prime=(-u\sin v,u\cos v,1)$，则曲面积分化为重积分为⁴ $\begin{aligned} \iint z^2dS=&\iint_{[0,a]\times[0,2\pi]}v^2\sqrt{u^2+1}dudv\\=&\frac{4\pi^3}{3}(\ln(a+\sqrt{1+a^2})+a\sqrt{1+a^2}) \end{aligned}$

例17.7 （求解曲面积分时注意完整考虑整个曲面，不要遗漏某一两面）求解第一型曲面积分 $\displaystyle \iint_S x^2+y^2 dS$，其中 $S$为立体 $\sqrt{x^2+y^2}\le z\le 1$的边界曲面

解：
须要注意的是，这个立体是一个倒圆锥，有一个底面和一个侧面，不要遗漏掉底面。设底面为 $S_1$，侧面为 $S_2$，则 $S_1:z=1,x^2+y^2\le 1$，从而 $\begin{aligned} &\iint_{S_1} x^2+y^2 dS=\iint_{x^2+y^2\le 1}x^2+y^2 dS\\ =&\int_0^{2\pi}d\theta\int_0^1r^3dr=\frac{\pi}{2} \end{aligned}$侧面写成参数方程形式为 $\begin{cases} x=r\cos\theta\\ y=r\sin\theta\\ z=r \end{cases}$取值范围为 $0\le r\le 1,0\le \theta\le 2\pi$，此时 $\sqrt{A^2+B^2+C^2}=\sqrt{2}r$，则将曲面积分化为重积分即为 $\iint_{S_2} x^2+y^2 dS=\sqrt{2}\int_0^{2\pi}d\theta\int_0^1 r^3dr=\frac{\sqrt{2}\pi}{2}$则 $\iint_S x^2+y^2 dS=\iint_{S_1} x^2+y^2 dS+\iint_{S_2} x^2+y^2 dS=\frac{(1+\sqrt{2})\pi}{2}$

第二型曲线积分与曲面积分

第二型曲线积分

第二型曲线积分的物理背景及定义

第二型曲线积分的物理背景是变力作功。

如上图，若是在牵引力 $F$的做用下，箱子移动的位移 $s$，则在力学中，力 $F$对箱子所做的功为 $F.s$，这是恒力对一个质点的做用。若是是变力，该如何求解力对质点所做的功呢。假设在平面上有一个力场 $F(x,y)=(P(x,y),Q(x,y))$，在力的做用下，质点的运动轨迹为 $s：s(t)=(x(t),y(t)),t\in[\alpha,\beta]$，这里假设运动轨迹是光滑的。则咱们能够将运动曲线划分为 $n$段小曲线 $s_1,\cdots,s_n$，每段运动均可以视为恒力作功，任取 $(\xi_k,\zeta_k)\in s_k$，在该段发生的位移为 $\Delta s_k$，则估计该力所作的功为 $W\approx \sum_{k=1}^nF(\xi_k,\zeta_k).\Delta s_k$当曲线段最大直径趋于0时，若是以上和式右极限，即为力场对质点所做的功。将以上物理背景进行抽象，就获得第二型曲线积分。

定义17.5 $L$为 $R^n$上的连续曲线，起点为 $A$，终点为 $B$， $F(x)=(F_{}$