欧拉筛

　　欧拉筛是线性时间复杂度筛选素数的算法。

　　先看通常筛法寻找素数：

findPrime(n)
    isPrime = array
    primes = empty-list
    isPrime[1] = false;
    for(i = 2; i < n; i++)
        isPrime[i] = true
    for(i = 2; i < n; i++)
        if(isPrime[i])
            primes.add(i)
        for p in primes
　　　　　　  if(p * i >= n) break
            isPrime[i * p] = false
　　return primes

　　先说明上面的代码能够正确找到全部[1,n)之间的素数。若是一个数x是素数，那么isPrime[x]恒为真。若是x为合数，则能够分解为p与x/p，其中p是x的最小素因子。而p,x/p<x，咱们不妨设p<=x/p，则当i=x/p时，此时p已经做为素数加入到了primes中，而isPrime[p * i] = false会将x设为合数，所以x会做为合数分离出去。故最后全部的素数都记录在了primes中，且记录在primes中的也只有素数。

　　上面的过程是正确的，时间复杂度为$\sum_{i=1}^{n}{\frac{n}{i}}=n\sum_{i=1}^{n}{\frac{1}{i}}=n\ln n$。

　　咱们发现上面这个过程当中涉及到屡次对同一个合数设置其isPrime属性，好比12，会因为4*3以及6*2被两次设置，而因为屡次设置的现象存在，咱们很难将时间复杂度优化到线性。而欧拉筛则在上面这个素数筛的基础上，保证每一个合数仅被设置一次。而实现出乎意料的简单，只用加上一行代码。

findPrime(limit)
   isPrime = array primes = empty-list isPrime[1] = false; for(i = 2; i < limit; i++) isPrime[i] = true for(i = 2; i < limit; i++) if(isPrime[i]) primes.add(i) for p in primes
　　　　　　 if(i * p >= n) break　 isPrime[i * p] = false
　　　　　　 if(i % p == 0) break
　　return primes

　　先说明这个算法是正确的。当i>p且能整除p时，对于任意素数k>p，ik的最大因子显然不是i（至少为pk），所以能够直接跳事后面的流程。固然还有一种特殊状况就是i=p，此时跳出与不跳出都不影响结果，由于循环已经濒临结束了。而对于primes中最终结果的正确性与上面算法的证实一致。

　　再说明每一个合数m的isPrime仅被设置一次。考虑当咱们设置isPrime[m]时，有i*p=m，其中p为素数且p<=i。若咱们在以前对isPrime[m]进行了另一次设置，这意味着j*p*k=m，其中j*k=i，j*p<i，很显然k=m/(j*p)>m/i=p，然而因为p|(j*p)，所以在访问到素数k时咱们已经跳出了循环，因此在以前设置isPrime[m]是不可能的。

　　对于时间复杂度，外部循环最多执行n次，每次都是常数时间复杂度，而内部循环每次执行都会设置一个合数的isPrime属性，而每一个合数只会被设置一次，所以内部循环执行的次数与合数总数等阶，即为O(n)。所以总的时间复杂度为O(n)。