由素数筛法到欧拉函数（欧拉函数，线性筛）

前言

蒟蒻最近准备狂补数学啦TAT

基于筛素数，能够同时快速求出欧拉函数。因而蒟蒻准备从这里入手，整理一下实现的思路。

筛素数及其一种改进写法

传统筛素数的作法（埃式筛）是，利用已知的素数，去筛掉含有此质因子的合数，十分巧妙。因为不是本文的重点，就只贴一下代码吧

#include<cstdio>
#include<cmath>
#define R register int
const int N=100000000,SQ=sqrt(N);
bool f[N];
int main(){
    R i,j;
    for(i=2;i<=SQ;++i){
        if(f[i])continue;
        for(j=i<<1;j<N;j+=i)f[j]=1;
    }
    /*for(i=2;i<N;++i)
        if(!f[i])printf("%d\n",i);*/
    return 0;
}

复杂度不会证，不过较近似于线性（大概是\(O(n\log\log n)\)的样子）。

实际上蒟蒻打了个表，N与筛的次数大概有这样的关系

为何是近似的呢？由于每一个合数会被其多个质因子都筛一遍，因此并非严格的。

因而咱们要想办法让每一个合数只被筛掉一次。如何实现呢？咱们可让每一个合数都只被其最小质因子筛掉（欧拉筛）。

与上面相比，这种新的更加优秀的写法有了较大的变化。代码以下，可结合注释理解，也很少讨论。

#include<cstdio>
#include<cmath>
#define R register int
const int N=100000000,B=N>>1;
bool f[N];
int pr[B];
int main(){
    R i,j,p=0;
    for(i=2;i<=B;++i){
        if(f[i])
            for(j=1;j<=p&&i*pr[j]<N;++j){
                f[i*pr[j]]=1;
                if(!(i%pr[j]))break;//这一句话就是使得每一个合数只被最小质因子筛掉的关键
//简要解释一下，若是pr[j]|i，那么i就有一个质因子pr[j]
//那么{i*pr[j+k],k∈N*}的最小质因子就是pr[j]而不是pr[j+k]了
            }
        else{
            pr[++p]=i;
            for(j=1;j<=p&&i*pr[j]<N;++j)
                f[i*pr[j]]=1;//i是质数，因此能够省掉上面那个判断，减少常数
        }
    }
    /*for(i=2;i<N;++i)
        if(!f[i])printf("%d\n",i);*/
    return 0;
}

实际运行\(N=10^8\)比上面那种写法快一半。

欧拉函数

定义及性质

对一个正整数\(x\)定义欧拉函数\(\phi(x)\)，为\([1,x]\)中与\(x\)互质的整数个数。

几个基本内容（下面定义\(p\)为质数）：

1. \(\phi(1)=1\)，这个没啥好说的，由于原本就定义\(1\)与\(1\)互质
2. \(\phi(p)=p-1\)，也是很显然的，由质数定义得出
3. 若是\(p|x\)，那么\(\phi(x*p)=\phi(x)*p\)，不然\(\phi(x*p)=\phi(x)*（p-1)\)。证实的话百度一下吧，蒟蒻不会qwq

这样的话，是否是能够像埃式筛同样，经过某个质数筛去质因子含这个数的合数的同时，计算出这个合数的欧拉函数值呢？好像是不行的，由于可能两个数的商的欧拉函数值还没求出来。

这时候，更好的欧拉筛又派上了用场。枚举\(x\)再枚举质数\(p\)，这时候\(\phi(x)\)和\(\phi(p)\)确定都求出来啦，那么\(\phi(x*p)\)固然也就求出来啦。

#include<cstdio>
#define R register
const int N=1000001;
int pr[N],phi[N];
bool f[N];
int main(){
    R int n,i,j,k,p=0;
    phi[1]=1;//内容1
    for(i=2;i<N;++i){
        if(!f[i])phi[pr[++p]=i]=i-1;//内容2
        for(j=1;j<=p&&(k=i*pr[j])<N;++j){
            f[k]=1;
            if(i%pr[j])//内容3
                phi[k]=phi[i]*(pr[j]-1);
            else{
                phi[k]=phi[i]*pr[j];
                break;
            }
        }
    }
    return 0;
}

题目

一道模板题及其Sol