线性筛欧拉函数

线性筛欧拉函数

欧拉函数

在数论，对正整数n，欧拉函数是小于n的正整数中与n互质的数的数目，用$\varphi(n)$表示。

通式： $ \varphi(x)=x\prod\limits_{i=1}^{n}{(1-\frac{1}{p_i})} $

其中$p_1, p_2……p_n$为$x$的全部质因数，$x$是不为0的整数。

性质：

1. $ \varphi(1)=1 $
2. 当正整数p为质数时 $ \varphi(n)=n-1 $
3. 欧拉函数是积性函数，当a与b互质时，知足 $ \varphi(a \times b)=\varphi(a) \times \varphi(b) $
4. 当p为质数时 $ \varphi(p^k)=p^k-p^{k-1}=(p-1)\times p^{k-1} $ 由于除了p的倍数外，其余数都跟n互质。
5. 当n为奇数时，$ \varphi(2n)=\varphi(n) $，证实与上述相似。
6. 当$n>2$时，$ \varphi(n) $都是偶数

两种代码(都能顺便筛素数)

1. 第一种写法 相似于埃氏筛法 $O(n\sqrt{n})?$，不推荐

int euler[maxn];
void euler_init(){ 
    euler[1]=1;
    for(int i=2;i<maxn;i++)
      euler[i]=i;           //初始化 
    for(int i=2;i<maxn;i++)
       if(euler[i]==i)      //判断是否为质数 若euler[i]!=i说明已经进行过运算了 
          for(int j=i;j<maxn;j+=i)
            euler[j]=euler[j]/i*(i-1);//先进行除法是为了防止中间数据的溢出

1. 第二种写法 欧拉筛改版$O(n)$

int prime[1000010],phi[1000010],cnt=0;
bool vis[10000010];
void Euler(int n)
{
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        if(!vis[i])
        {
            prime[++cnt]=i;
            phi[i]=i-1;//①
        }
        for(int j=1;j<=cnt;j++)
        {
            if(i*prime[j]>n)break;
            vis[i*prime[j]]=1;
            if(i%prime[j]==0)
            {
                phi[i*prime[j]]=prime[j]*phi[i];//②
                break;
            }
            else phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1);//③
        }
    }
}

• ①，参见性质2

• ②，参见通式
  若i%prime[j]==0,则
  $$ \begin{split}\varphi(i \times prime[j]) =i \times prime[j] \times \prod\limits_{i=1}^{n}{(1-\frac{1}{p_i})} =prime[j] \times \varphi(i)\end{split} $$

• ③，参见性质2和性质3
  若i%prime[j]!=0,则
  $$ \varphi(i\times prime[j])=\varphi(i)\times \varphi(prime[j])=\varphi(i)\times (prime[j]-1) $$

欧拉定理

若n,a为正整数，且n,a互质，则$ a^{\varphi(n)} \equiv 1 \pmod n $

当n为质数时，即为费马小定理$ a^{n-1} \equiv 1 \pmod n$

应用

求解乘法逆元，若a,n互质，则
$ a^{\varphi(n)} \equiv 1 \pmod n\\ \Rightarrow a^{\varphi(n)-1} \times a \equiv a^{-1} \times a \pmod n\\ \Rightarrow a^{\varphi(n)-1} \equiv a^{-1} \pmod n$
因此，a的在模n意义下的乘法逆元等于$ a^{\varphi(n)-1} $