斐波那契数列几种算法及时间复杂度分析

参考:https://blog.csdn.net/beautyofmath/article/details/48184331ios

https://blog.csdn.net/ecjtu_yuweiwei/article/details/47282457算法

http://www.javashuo.com/article/p-pjwjenzq-bu.html   递归方式的时间复杂度分析彷佛有问题this

 

1.递归spa

int fibonacci(int n) {if (n<=0) { return  0; } if (n==1) { return 1; } return fb(n-1)+fb(n-2); }

关于这种解法,再也不赘述,下面主要说下时间复杂度分析。 .net


设f(n)为参数为n时的时间复杂度,很明显:f(n)=f(n-1)+f(n-2) 
这就转化为了数学上的二阶常系数差分方程,而且为齐次方程。 
即转化为了求f(n)的值,f(n)=f(n-1)+f(n-2)且f(0)=0; f(1)=1; 
特征方程为:x^2-x-1=0 
得 x=(1±√5)/2 
于是f(n)的通解为: code

 

由f(0)=0; f(1)=1可解得c_1,c_2 
最终可得,时间复杂度为: blog

 

2.循环累计递归

避免了重复计算,时间复杂度为O(n)ci

int Fibonacci(int n) { if (n<=0) { return 0; } if (n==1) { return 1; } int min=0; int max=1; int i=2; int result=0; while (i<=n) { result=min+max; min=max; max=result; ++i; } return result; }

 

3.利用矩阵的乘法get

根据递归公式能够获得

于是计算f(n)就简化为了计算矩阵的(n-2)次方,而计算矩阵的(n-2)次方,咱们又能够进行分解,即计算矩阵(n-2)/2次方的平方,逐步分解下去,因为折半计算矩阵次方,于是时间复杂度为O(log n)

 

关于矩阵相乘算法可参考上面第三个连接,讲的更为详细。

 

具体代码实现以下:

//
// main.cpp // fibonaccimatrix //
// Created by shunagao on 15/8/31. // Copyright © 2015年 shunagao. All rights reserved. //  #include <iostream>
using namespace std; class Matrix { public: int n; int **m; Matrix(int num) { m=new int*[num]; for (int i=0; i<num; i++) { m[i]=new int[num]; } n=num; clear(); } void clear() { for (int i=0; i<n; ++i) { for (int j=0; j<n; ++j) { m[i][j]=0; } } } void unit() { clear(); for (int i=0; i<n; ++i) { m[i][i]=1; } } Matrix operator=(const Matrix mtx) { Matrix(mtx.n); for (int i=0; i<mtx.n; ++i) { for (int j=0; j<mtx.n; ++j) { m[i][j]=mtx.m[i][j]; } } return *this; } Matrix operator*(const Matrix &mtx) { Matrix result(mtx.n); result.clear(); for (int i=0; i<mtx.n; ++i) { for (int j=0; j<mtx.n; ++j) { for (int k=0; k<mtx.n; ++k) { result.m[i][j]+=m[i][k]*mtx.m[k][j]; } } } return result; } }; int main(int argc, const char * argv[]) { unsigned int num=2; Matrix first(num); first.m[0][0]=1; first.m[0][1]=1; first.m[1][0]=1; first.m[1][1]=0; int t; cin>>t; Matrix result(num); result.unit(); int n=t-2; while (n) { if (n%2) { result=result*first; } first=first*first; n=n/2; } cout<<(result.m[0][0]+result.m[0][1])<<endl; return 0; }
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