斐波那契数列两种算法的时间复杂度

这是2018王道数据结构考研复习指导的第一章思惟拓展的题目。

关于斐波那契数列的简介：

　　斐波那契数列，又称黄金分割数列，指的是这样一个数列：0、一、一、二、三、五、八、1三、2一、3四、……在数学上，斐波纳契数列以以下被以递归的方法定义：F（0）=0，F（1）=1，F（n）=F(n-1)+F(n-2)（n≥2，n∈N*）在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波纳契数列都有直接的应用，为此，美国数学会从1963起出版了以《斐波纳契数列季刊》为名的一份数学杂志，用于专门刊载这方面的研究成果。

 

具体题目：

求解斐波那契数列的F(n)有两种经常使用算法：递归算法和非递归算法。试分析两种算法的时间复杂度。

1.递归算法

 1 #include<iostream>
 2 using namespace std;
 3 
 4 long Fibonacci(int n) {
 5     if (n == 0)
 6         return 0;
 7     else if (n == 1)
 8         return 1;
 9     else
10         return Fibonacci(n - 1) + Fibonacci(n-2);
11 }
12 
13 int main() {
14     cout << "Enter an integer number:" << endl;
15     int N;
16     cin >> N;
17     cout << Fibonacci(N) << endl;
18     system("pause");
19     return 0;
20 }

时间复杂度分析：

　　求解F(n),必须先计算F(n-1)和F(n-2),计算F(n-1)和F(n-2)，又必须先计算F(n-3)和F(n-4)。。。。。。以此类推，直至必须先计算F(1)和F(0),而后逆推获得F(n-1)和F(n-2)的结果，从而获得F(n)要计算不少重复的值，在时间上形成了很大的浪费，算法的时间复杂度随着N的增大呈现指数增加，时间的复杂度为O(2^n)，即2的n次方

2.非递归算法

 1 #include<iostream>
 2 using namespace std;
 3 
 4 long Fibonacci(int n) {
 5     if (n <= 2)
 6         return 1;
 7     else {
 8         long num1 = 1;
 9         long num2 = 1;
10         for (int i = 2;i < n - 1;i++) {
11             num2 = num1 + num2;
12             num1 = num2 - num1;
13         }
14         return num1 + num2;
15     }
16 }
17 
18 int main() {
19     cout << "Enter an integer number:" << endl;
20     int N;
21     cin >> N;
22     cout << Fibonacci(N) << endl;
23     system("pause");
24     return 0;
25 }

时间复杂度分析：

　　　从n(>2)开始计算，用F(n-1)和F(n-2)两个数相加求出结果，这样就避免了大量的重复计算，它的效率比递归算法快得多，算法的时间复杂度与n成正比，即算法的时间复杂度为O(n).

 

参考博客：http://www.cnblogs.com/python27/archive/2011/11/25/2261980.html