python斐波那契数列复杂度

契数列

概述：

　　斐波那契数列，又称黄金分割数列，指的是这样一个数列：0、一、一、二、三、五、八、1三、2一、3四、……在数学上，斐波纳契数列以以下被以递归的方法定义：F（0）=0，F（1）=1，F（n）=F(n-1)+F(n-2)（n≥2，n∈N*）在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波纳契数列都有直接的应用，为此，美国数学会从1963起出版了以《斐波纳契数列季刊》为名的一份数学杂志，用于专门刊载这方面的研究成果。

 

求解：

求解斐波那契数列的F(n)有两种经常使用算法：递归算法和非递归算法。试分析两种算法的时间复杂度。

1 递归算法

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

#!/usr/bin/env python # -*- coding:utf-8 -*-   def  fibonacci(n):      if  n  = =  0 :          return  0      elif  n < =  2 :          return  1      else :          return  fibonacci(n - 1 )  +  fibonacci(n - 2 )   fibonacci( 100 )

时间复杂度：求解F(n),必须先计算F(n-1)和F(n-2),计算F(n-1)和F(n-2)，又必须先计算F(n-3)和F(n-4)。。。。。。以此类推，直至必须先计算F(1)和F(0),而后逆推获得F(n-1)和F(n-2)的结果，从而获得F(n)要计算不少重复的值，在时间上形成了很大的浪费，算法的时间复杂度随着N的增大呈现指数增加，时间的复杂度为O(2^n)，即2的n次方　

2 非递归算法

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

#!/usr/bin/env python # -*- coding:utf-8 -*-   def  fibonacci(n):      if  n  = =  0 :          return  0      elif  n < =  2 :          return  1      else :          num1  =  1          num2  =  1          for  i  in  range ( 2 ,n - 1 ):              num2  =  num2  +  num1              num1  =  num2  -  num1          return  num1  +  num2 print (fibonacci( 100 ))

算法复杂度:从n>2开始计算，用F(n-1)和F(n-2)两个数相加求出结果，这样就避免了大量的重复计算，它的效率比递归算法快得多，算法的时间复杂度与n成正比，即算法的时间复杂度为O(n)