SimRank协同过滤推荐算法

在协同过滤推荐算法总结中，咱们讲到了用图模型作协同过滤的方法，包括SimRank系列算法和马尔科夫链系列算法。如今咱们就对SimRank算法在推荐系统的应用作一个总结。

1、1. SimRank推荐算法的图论基础

　　　　SimRank是基于图论的，若是用于推荐算法，则它假设用户和物品在空间中造成了一张图。而这张图是一个二部图。所谓二部图就是图中的节点能够分红两个子集，而图中任意一条边的两个端点分别来源于这两个子集。一个二部图的例子以下图。从图中也能够看出，二部图的子集内部没有边链接。对于咱们的推荐算法中的SimRank，则二部图中的两个子集能够是用户子集和物品子集。而用户和物品之间的一些评分数据则构成了咱们的二部图的边。

2、2. SimRank推荐算法思想

　　　　对于用户和物品构成的二部图，如何进行推荐呢？SimRank算法的思想是，若是两个用户类似，则与这两个用户相关联的物品也相似；若是两个物品相似，则与这两个物品相关联的用户也相似。若是回到上面的二部图，假设上面的节点表明用户子集，而下面节点表明物品子集。若是用户1和3相似，那么咱们能够说和它们分别相连的物品2和4也相似。

　　　　若是咱们的二部图是\(G(V,E)\)，其中V是节点集合，E是边集合。则某一个子集内两个点的类似度\(s(a,b)\)能够用和相关联的另外一个子集节点之间类似度表示。即：
\[ s(a,b) = \frac{C}{|I(a)||I(b)|}\sum\limits_{i=1}^{|I_(a)|}\sum\limits_{j=1}^{|I_(b)|}s(I_i(a),I_j(b)) \]

　　　　其中C是一个常数，而\(I(a),I(b)\)分别表明和a，b相连的二部图另外一个子集的节点集合。\(s(I_i(a),I_i(b))\)即为相连的二部图另外一个子集节点之间的类似度。

　　　　一种特殊状况是，本身和本身的类似度，咱们定义为1。即\(s(a,a) =1\)。还有一种特殊状况是\(I(a),I(b)\)有一个为空，即a，b中某一个点没有相连的另外一个子集中的点，此时\(s(a,b) =0\)，将这几种状况综合下，则二部图一个子集内两个点的类似度\(s(a,b)\)能够表示为：

\[ s(a,b)= \begin{cases} 1 & {a = b}\\ \frac{C}{|I(a)||I(b)|}\sum\limits_{i=1}^{|I_(a)|}\sum\limits_{j=1}^{|I_(b)|}s(I_i(a),I_j(b)) & {a \neq b, I(a) \neq \emptyset, I(a) \neq \emptyset}\\ 0 & {otherwise} \end{cases} \]

　　　　若是咱们想用上式直接计算两个物品或者两个用户之间的类似度是比较困难的，通常须要经过迭代方式计算。对于$a \neq b, I(a) \neq \emptyset, I(a) \neq \emptyset $时，咱们注意到:
\[ s(a,b) = \frac{C}{|I(a)||I(b)|}\sum\limits_{i=1}^{|I_(a)|}\sum\limits_{j=1}^{|I_(b)|}s(I_i(a),I_j(b)) = \frac{C}{|I(a)||I(b)|}\sum\limits_{i=1}^{N}\sum\limits_{j=1}^{N}p_{ia}s(a,b)p_{jb} \]

　　　　其中p为二部图关联边的权重，而N为二部图节点数。

　　　　上面的式子能够继续转化为：
\[ s(a,b) = C\sum\limits_{i=1}^{N}\sum\limits_{j=1}^{N}\Bigg(\frac{p_{ia}}{\sum\limits_{i=1}^{N}p_{ia}}\Bigg)s(a,b)\Bigg(\frac{p_{jb}}{\sum\limits_{j=1}^{N}p_{jb}}\Bigg) \]

　　　　若是用矩阵表示，则类似度矩阵\(S = CW^TSW\), 其中\(W\)是将权重值p构成的矩阵\(P\)归一化后的矩阵。

　　　　可是因为节点和本身的类似度为1，即咱们的矩阵S的对角线上的值都应该改成1，那么咱们能够去掉对角线上的值，再加上单位矩阵，获得对角线为1的类似度矩阵。即：
\[ S = CW^TSW + I - Diag(diag(CW^TSW)) \]

　　　　其中\(diag(CW^TSW)\)是矩阵\(CW^TSW\)的对角线元素构成的向量，而\(Diag(diag(CW^TSW))\)将这个向量构成对角矩阵。

　　　　只要咱们对S矩阵按照上式进行若干轮迭代，当S矩阵的值基本稳定后咱们就获得了二部图的类似度矩阵，进而能够利用用户与用户的类似度度量，物品与物品的类似度度量进行有针对性的推荐。

3、SimRank算法流程

　　　　如今咱们对SimRank算法流程作一个总结。

　　　　输入：二部图对应的转移矩阵W，阻尼常数C，最大迭代次数k

　　　　输出：子集类似度矩阵S：

　　　　1) 将类似度S的初始值设置为单位矩阵I.

　　　　2) 对于i=1,2...k:

　　　　　　a) \(temp = CW^TSW\)

　　　　　　b) \(S = temp + I - Diag(diag(temp))\)

　　　　以上基于普通的SimRank算法流程。固然，SimRank算法有不少变种，因此你可能看到其余地方的SimRank算法描述或者迭代的过程和上面的有些不一样，可是算法思想基本和上面相同。

　　　　SimRank算法有不少改进变种，比较著名的一个改进是SimRank++算法。

4、SimRank++算法原理

　　　　SimRank++算法对SimRank算法主要作了两点改进。第一点是考虑了边的权值，第二点是考虑了子集节点类似度的证据。

　　　　对于第一点边的权值，上面的SimRank算法，咱们对于边的归一化权重，咱们是用的比较笼统的关联的边数分之一来度量，并无考虑不一样的边可能有不一样的权重度量，而SimRank++算法则在构建转移矩阵W时会考虑不一样的边的不一样权重值这个因素。

　　　　对于第二点的节点类似度的证据。回顾回顾上面的SimRank算法，咱们只要认为有边相连，则为类似。却没有考虑到若是共同相连的边越多，则意味着两个节点的类似度会越高。而SimRank++算法利用共同相连的边数做为证据，在每一轮迭代过程当中，对SimRank算法计算出来的节点类似度进行修正，即乘以对应的证据值获得当前轮迭代的的最终类似度值。

5、SimRank系列算法的求解

　　　　因为SimRank算法涉及矩阵运算，若是用户和物品量很是大，则对应的计算量是很是大的。若是直接用咱们第二节讲到了迭代方法去求解，所花的时间会很长。对于这个问题，除了传统的一些SimRank求解优化之外，经常使用的有两种方法来加快求解速度。

　　　　第一种是利用大数据平台并行化，即利用Hadoop的MapReduce或者Spark来将矩阵运算并行化，加速算法的求解。

　　　　第二种是利用蒙特卡罗法(Monte Carlo, MC)模拟，将两结点间 SimRank 的类似度表示为两个随机游走者分别从结点 a和 b出发到最后相遇的总时间的指望函数。用这种方法时间复杂度会大大下降，可是因为MC带有必定的随机性，所以求解获得的结果的精度可能不高。

6、SimRank小结

　　　　做为基于图论的推荐算法，目前SimRank算法在广告推荐投放上使用很普遍。而图论做为一种很是好的建模工具，在不少算法领域都有普遍的应用，好比我以前讲到了谱聚类算法。同时，若是你理解了SimRank，那么Google的PageRank对你来讲就更容易理解了。

　　　　我的理解PageRank只能获得某一个节点本身的权重，而SimRank却能够获得两两之间的权重度量，明显SimRank要更加高大上。:)

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