数论 | 快速幂、矩阵快速幂、快速乘 - 详细讲解

时间 2020-05-20 标签数论快速矩阵详细讲解

文章目录

1、快速幂

2、矩阵快速幂

1、快速幂

快速幂：快速计算某个数的幂次( $a^n$ )html

快速幂时间复杂度为 $O(logn)$ ，相比朴素的 $O(n)$ 快了不少ios

它的基本原理是把 n 转换为二进制，如 $23 = 1 + 2 + 4 +16 = 2^0 + 2 ^ 1 + 2^2 + 2^4=(10111)_2$ web

核心：反复平方法，即不断把底数平方
算法

快速幂模版（迭代，非递归）

int fastpow(int a, int k, int p) {
    int res = 1;
    while (k) {
        if (k & 1) res = res * 1ll * a % p;
        a = a * 1ll * a % p; 
        k >>= 1;
    }
    
    return res;
}

快速幂模版（递归）

计算 a 的 k 次，若是 k 为偶数(不为0)，则先计算 $a^{n/2}$ ，而后平方；若是 k 是奇数，则先计算 $a^{n-1}$ ，而后在乘以 a；递归的出口是 $a^0=1$ 编程

int fastpow(int a, int k, int p) {
    if (k == 0) return 1 % p;
    
    if (k & 1) return fastpow(a, k - 1, p) * 1ll * a % p;
    else {
        // 必须用临时遍历tmp存，不然算法退回到O(n)
        int tmp = fastpow(a, k / 2, p); 
        return tmp * 1ll * tmp % p;
    }
}

说明：递归快速幂思路比较简单，但要注意 $a^{n/2}$ 须要用临时遍历存下来，不然算两次，会让算法退回到 $O(n)$ 复杂度app

注：快速幂因为过于简单，一般做为某个复杂算法的中间一步，好比欧拉公式，欧几里得算法svg

AcWing 875. 快速幂

875. 快速幂函数

LeetCode 50. Pow(x, n)（快速幂 C++）

LeetCode 题解 | 50. Pow(x, n)（快速幂 C++）学习

LeetCode 372. 超级次方

LeetCode 372. 超级次方spa

2、矩阵快速幂

数学问题：矩阵n次方的七种求法的概括——在本科数学时学过里面的几种方法

上面说的是数学方法，在计算机编程中常常用快速幂来求矩阵的 n 次幂

矩阵快速幂适合于求递推式 $f(n) = af(n - 1) + bf(n-2)$ ，加速递推公式

特别是当 n 很大时，它能在 $O(logn)$ 级别的时间复杂度内求出第 n 项，如求斐波那契数列的第1e9项

$\left( \begin{array}{c} f(n+1) \\ f(n) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c c} a &b \\ 1 & 0 \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} f(n) \\ f(n - 1) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c c} a &b \\ 1 & 0 \\ \end{array} \right) ^{n-1} \left( \begin{array}{c} f(2) \\ f(1) \end{array} \right)$

显然当咱们算出 $\left( \begin{array}{c c} a &b \\ 1 & 0 \\ \end{array} \right)^{n-1}$ 后， $f(n + 1) \text{和} f(n)$ 的值就都算出来了（这算法是否是很牛逼！）

咱们用一个结构体来封装矩阵，这样能够简化不少代码，让程序看上去更舒服

struct mat{
    int m[N][N];
    mat() { // 用构造函数初始化成 单位矩阵E
        memset(m, 0, sizeof m);
        for (int i = 0; i < N; i ++) m[i][i] = 1;
    }
}

矩阵快速幂函数（和普通快速幂相似）

mat fastpow(mat a, int k) { // 矩阵快速幂
    mat res;
    while (k) {
        if (k & 1) res = multi(res, a);
        a = multi(a, a); 
        k >>= 1; 
    }
    return res;
}

矩阵快速幂模版

结构体(存矩阵) + 矩阵乘法 + 矩阵快速幂

#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 100, mod = 1e6;
int n, k;

struct mat {
    int m[N][N];
    mat() { // 用构造函数初始化成 单位矩阵E
        memset(m, 0, sizeof m);
        for (int i = 0; i < N; i++)
            m[i][i] = 1;
    }
};

// 矩阵乘法
mat multi(mat a, mat b) { 
    mat c;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        for (int j = 0; j < n; j++) {
            c.m[i][j] = 0;
            for (int k = 0; k < n; k++) {
                c.m[i][j] += a.m[i][k] * b.m[k][j]; // 累加
            }
            c.m[i][j] %= mod;
        }
    }
    return c;
}

// 矩阵快速幂（核心）
mat fastpow(mat a, int k) { 
    mat res;
    while (k) {
        if (k & 1) res = multi(res, a);
        a = multi(a, a);
        k >>= 1;
    }
    return res;
}

int main() {
    cin >> n >> k; // 输入矩阵阶数 n 和幂次 k

    mat a, res;
    // 输入矩阵
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        for (int j = 0; j < n; j++) {
            cin >> a.m[i][j];
        }
    }

    res = fastpow(a, k);

    // 输出结果
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        for (int j = 0; j < n; j++) {
            cout << res.m[i][j] << " ";
        }
        cout << endl;
    }
}

输入

输出

-19 10 0 
-40 21 0 
-1003 1013 1024

将 n=10 代入通项 $A^n$ ，能够知道咱们的代码是正确的

说明：通常题目给的数据会很大，因此都会取 mod

例题：求斐波那契数列的第 1e9 项

POJ 题解 | 3070.Fibonacci 求斐波那契数列的第 n 项（矩阵快速幂 C++）

例题： $S = A + A^2 + A^3 + … + A^k$

POJ 3233.Matrix Power Series

分析能够获得
k为偶数： $sum(k) = (E+A^{k/2}) *( A+A^2+……+A^{k/2}) \\ = (E+A^{k/2}) \times sum(k/2)$
k为奇数： $sum(k) = (E+A^{(k-1)/2}) * sum(k/2) + A^k$

$A^k$ 能够用矩阵快速幂来求，而后再递归 sum 便可

POJ 题解 | 3233. Matrix Power Series（矩阵快速幂 C++）

@例题：商汤科技笔试第三题

关键在于构造出递推的矩阵

能够理解为选定一组基

矩阵快速幂 —— 商汤笔试第三题

@数位问题

在全部的 n 位正数中，有多少个数含有偶数个3，有多少个数含有奇数个3？
注： $n \leq10^9$

参考：https://zhuanlan.zhihu.com/p/137677246

3、快速乘

因为计算机底层设计的缘由，作加法每每比乘法快的多，所以将乘法转换为加法计算将会大大提升乘法运算的速度

除此以外，当咱们计算 $a*b%mod$ 的时候，每每较大的数计算 $a*b$ 会超出 long long int 的范围，这个时候使用快速乘法方法也能解决上述问题。

快速乘法的原理：利用乘法分配率来将 $a*b$ 转化为多个式子相加的形式求解

例如：
$\begin{aligned} 20 \times 14 &＝ 20\times (1110)2 \\ &= (20 \times 2^3) \times 1 + (20 \times 2^2) \times 1+(20 \times 2^1) \times １+(20 \times 2^0) \times 0 \\&= 160+80+40 = 280 \end{aligned}$

typedef long long ll;
ll qmm(ll a, ll b, ll mod) {
    ll ans = 0;
    while (b) {
        if (b & 1) ans = (ans + a) % mod;
        a <<= 1; // 20*1->20*2->20*4->20*8
        b >>= 1;
    }
    return ans;
}

参考资料

[1] 数论之矩阵快速幂
[2] 算法学习笔记(4)：快速幂 - 知乎
[3] 算法竞赛模板快速乘与快速幂 - Kannyi - 博客园
[4] 二分幂，快速幂，矩阵快速幂，快速乘