矩阵快速幂

矩阵快速幂，就是矩阵乘法和快速幂的结合，因此在讲矩阵快速幂以前，先讲讲矩阵乘法和快速幂。

矩阵

矩阵的定义

什么是矩阵？由 \(m \times n\) 个数 \(a_{i,j}(i=1,2,\cdots,m;j=1,2,\cdots,n)\) 排成的一个 \(m\) 行 \(n\) 列的数表

\[\begin{matrix} a_{1,1} & a_{1,2} & \cdots & a_{1,n} \\ a_{2,1} & a_{2,2} & \cdots & a_{2,n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m,1} & a_{m,2} & \cdots & a_{m,n} \end{matrix}\]

被称为 \(m\) 行 \(n\) 列矩阵，简称 \(m \times n\) 矩阵。为了表示这是个总体老是加一个括弧，并用大写字母表示他，计作：

\[A = \left[\begin{matrix} a_{1,1} & a_{1,2} & \cdots & a_{1,n} \\ a_{2,1} & a_{2,2} & \cdots & a_{2,n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m,1} & a_{m,2} & \cdots & a_{m,n} \end{matrix}\right]\]

这个矩阵中的\(m \times n\)个数被称为矩阵\(A\)的元素，简称元。矩阵\(A\)也可被计作\(A_{m \times n}\)。

行矩阵（行向量）： 只有一行的矩阵。
列矩阵（列向量）： 只有一列的矩阵。
同型矩阵： 两个矩阵\(A\)、\(B\)的行数和列数都相等
单位矩阵： 在矩阵乘法中起着很大的做用，至关于乘法中的\(1\)，她是个方阵（即行数和列数相同的矩阵），左上角到右下角的对角线（被称为主对角线）上的元素都是\(1\)，除此以外都是\(0\)。以下就是一个\(4 \times 4\)的单位矩阵：

\[\left[\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}\right]\]

矩阵加法

咱们定义两个m \(\times n\)的矩阵\(A\)和\(B\)相加为：

\[A+B = \left[\begin{matrix} a_{1,1}+b_{1,1} & a_{1,2}+b_{1,2} & \cdots & a_{1,n}+b_{1,n} \\ a_{2,1}+b_{2,1} & a_{2,2}+b_{2,2} & \cdots & a_{2,n}+b_{2,n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m,1}+b_{m,1} & a_{m,2}+b_{m,2} & \cdots & a_{m,n}+b_{m,n} \end{matrix}\right]\]

注意：

• 矩阵加法知足交换律和结合律
• 只有两个同型矩阵才能够作加法

矩阵乘法

咱们定义两个矩阵 \(A_{m \times s}\) 和 \(B_{s \times n}\) 相乘获得一个矩阵 \(C_{m,n}\)，而且

\[c_{i,j} = a_{i,1}b_{1,j}+a_{i,2}b_{2,j} \cdots +a_{i,s}b_{s,j}=\sum^{s}_{k=1}a_{i,k}b_{k,j} \]

并将此计作 \(C=AB\)。
注意： 矩阵乘法不知足交换律，但知足结合律和分配律。
\(\tiny{\text{这里没放图是由于放了也看不懂（逃}}\)
若是还不理解的话能够看这里
用代码写出来就是下面这个亚子：

struct matrix
{
	int n,m;//n是行数，m是列数
	ll e[105][105];
}a;
matrix mul(matrix a,matrix b)
{
	matrix ans;
	ans.n=a.n;
	ans.m=b.m;
	for(int i=1;i<=ans.n;i++)
		for(int j=1;j<=ans.m;j++)
			ans.e[i][j]=0;//初始化
	for(int i=1;i<=a.n;i++)
		for(int j=1;j<=b.m;j++)
			for(int k=1;k<=a.m;k++)
				ans.e[i][j]=(ans.e[i][j]+(a.e[i][k]*b.e[k][j])%mod)%mod;//矩阵乘法结果可能很大，因此要取模
	return ans;
}

快速幂

通常咱们求 \(x^y\) 的方法是一个个乘过去，但这种方法太慢了。咱们须要一种新的，快速的方法来求，而这种方法就是快速幂。这里咱们举例来理解，就好比求 \(3^{5}\)，用 \(ans\) 记录答案。\(5\) 转成二进制就是 \({(101)}_2\)，那么咱们从右往左开始枚举，首先，有个1，那么咱们就记录 \(ans=ans \times 3=1 \times 3=3\)，而后让 \(3\) 变成本身的平方，也就是 \(3^2=9\) ，而后接下来是个 \(0\)，那就不用乘，而后再让 \(9\) 变成本身的平方 \(81\)，而后又是个 \(1\)，因此 \(ans=ans \times 81=3 \times 81=243\)。最后，获得 \(3^5 = 243\)。手算一下能够发现这是对的。固然 \(x^y\) 极可能是个很大的数，因此通常都会取模。
代码实现长这个亚子：

long long power(long a,long b,long c)
{
	long long ans=1;
	while(b)//没有枚举完
	{
		if(b&1) ans=(ans*a)%c;//这一位是不是1
		a=(a*a)%c;
		b>>=1;//走到下一位
	}
	return ans%c;
}

矩阵快速幂

讲完了上面这些，那矩阵快速幂就很好理解了！就是把运算改为矩阵运算。
首先，\(ans\) 和返回值都应该是一个矩阵；而后，\(ans\) 应该初始化为单位矩阵，缘由上面已经讲了；（1.1 矩阵的定义）再而后，里面的乘法应该改为矩阵乘法。最后提醒一句，矩阵快速幂必须是个方阵，不然要两个同型矩阵（本身乘本身，固然是同型矩阵啦~）能够实现矩阵乘法是不可能的。
代码实现：

struct matrix
{
	int n,m;
	ll e[105][105];
}a;
matrix mul(matrix a,matrix b)
{
	matrix ans;
	ans.n=a.n;
	ans.m=b.m;
	for(int i=1;i<=ans.n;i++)
		for(int j=1;j<=ans.m;j++)
			ans.e[i][j]=0;
	for(int i=1;i<=a.n;i++)
		for(int j=1;j<=b.m;j++)
			for(int k=1;k<=a.m;k++)
				ans.e[i][j]=(ans.e[i][j]+(a.e[i][k]*b.e[k][j])%mod)%mod;//快速幂的取模就在这里了！
	return ans;
}//代码和上面的区别
matrix power(matrix a,ll b)
{
	matrix ans;
	ans.n=a.n;
	ans.m=a.m;
	for(int i=1;i<=ans.n;i++)
		for(int j=1;j<=ans.m;j++)
			if(i==j) ans.e[i][j]=1;
			else ans.e[i][j]=0;//初始化为单元矩阵
	while(b)
	{
		if(b&1) ans=mul(ans,a);//要把乘换成矩阵乘法哦！
		a=mul(a,a);//这里也同样呢
		b>>=1;
	}//快速幂板子
	return ans;
}

实际应用

先挂上神仙同窗的矩阵加速友链。

矩阵快速幂能够应用到不少递推题上。
先放出一道例题：洛谷P1962 斐波那契数列

这题看到 \(n < 2^{63}\) 就知道，直接递推确定不行，咱们就要用矩阵快速幂来加加速。
咱们知道，这题是由初始的两个数递推得来的，那么咱们有没有什么办法让他用更快的速度来递推呢？
固然是用矩阵啦~
因为递推 \(F_n\) 须要用到 \(F_{n-1},F_{n-2}\) 两个项，因此咱们就构建有两个项的初始矩阵：

\[A=\left[\begin{matrix} F_{n-1} & F_{n-2} \end{matrix}\right]\]

而后，显而易见地，目标矩阵长这个样子：

\[B=\left[\begin{matrix} F_n & F_{n-1} \end{matrix}\right]\]

而后，就有了一个递推式子：

\[AC=B \]

可是咱们不知道这个 \(C\) 是什么呀。
不要紧，咱们来把上面的式子拆开来：

\[AC=\left[\begin{matrix} f_{n-1} \times c_{1,1}+f_{n-2} \times c_{2,1} & f_{n-1} \times c_{2,1}+f_{n-2} \times c_{2,2} \end{matrix}\right]\]

为了让结果等于 \(B\)，必需要让

• \(f_{n-1} \times c_{1,1}+f_{n-2} \times c_{2,1} = f_{n-1}+f_{n-2}\)，因此 \(c_{1,1},c_{1,2}\) 都应该等于 \(1\)。
• \(f_{n-1} \times c_{2,1}+f_{n-2} \times c_{2,2} = f_{n-1}\)，因此 \(c_{2,1}=1,c_{2,2}=0\)。

因而就获得了

\[C=\left[\begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}\right]\]

可是，这样不仍是 \(O(n)\) 递推吗？
观察一下，能够发现每次乘的是同一个矩阵，而原来的递推每次的项是不同的。
这样有什么好处呢？咱们能够先让全部的 \(C\) 都乘起来，再乘 \(A\) 就好了。
能这样作，仍是由于矩阵乘法知足结合律。
那么要乘几个 \(C\) 呢？是 \(n-2\) 次。为何呢？由于初始矩阵中已经有了两项：\(F_1\) 和 \(F_2\)。

最终代码以下：

#include<cstdio>
#define ll long long
#define mod 1000000007
using namespace std;
ll n;
struct matrix
{
	int n,m;
	ll e[105][105];
}a,b;
matrix mul(matrix a,matrix b)
{
	matrix ans;
	ans.n=a.n;
	ans.m=b.m;
	for(int i=1;i<=ans.n;i++)
		for(int j=1;j<=ans.m;j++)
			ans.e[i][j]=0;
	for(int i=1;i<=a.n;i++)
		for(int j=1;j<=b.m;j++)
			for(int k=1;k<=a.m;k++)
				ans.e[i][j]=(ans.e[i][j]+(a.e[i][k]*b.e[k][j])%mod)%mod;
	return ans;
}
matrix power(matrix a,ll b)
{
	matrix ans;
	ans.n=a.n;
	ans.m=a.m;
	for(int i=1;i<=ans.n;i++)
		for(int j=1;j<=ans.m;j++)
			if(i==j) ans.e[i][j]=1;
			else ans.e[i][j]=0;
	while(b)
	{
		if(b&1) ans=mul(ans,a);
		a=mul(a,a);
		b>>=1;
	}
	return ans;
}
int main()
{
	scanf("%lld",&n);
	if(n<=2)
	{
		printf("1");
		return 0;
	}
	a.n=2,a.m=2;
	a.e[1][1]=a.e[1][2]=a.e[2][1]=1;
	a=power(a,n-2);
	b.n=1,b.m=2;
	b.e[1][1]=b.e[1][2]=1;
	printf("%lld",mul(b,a).e[1][1]);
	return 0;
}