倍增总结

倍增

ST表

预处理

\(f[i][j]\)表示从\(i\)开始的长度为\(2^{j}\)的区间（即区间\([i, i+2^{j}-1]\)）

递推公式（j在外层递增）：

\(f[i][j]=max\{f[i][j-1], f[i+2^{j-1}][j-1]\}\)

即将区间\([l, r]\)分为两个区间合并

查询

分为两段，第一段为区间\([l, 2^k]\)，第二段为区间\([r-2^k+1, r]\)，其中\(k\)为知足\(2^{k}\le r-l+1\)的全部数中最大的那个数

即区间\([l,r]\)的最大值为\(max\{f[l][k], f[r-2^{k}+1][k]\}\)

例子

忠诚 洛谷 P1816

屡次查询区间最小值

#include <cstdio>
#define MAXN 100010
#define MIN(A,B) ((A)<(B)?(A):(B))
using namespace std;
int f[MAXN][20];
int getk(int x){
    int cnt=0,cur=1;
    while(cur<=x){
        ++cnt;
        cur*=2;
    }
    return cnt-1;
}
int main()
{
    int m,n;
    scanf("%d %d", &m, &n);
    for(register int i=1;i<=m;++i)
        scanf("%d", &f[i][0]);
    int mx_len = getk(m);
    for(register int len=1;len<=mx_len;++len)
        for(register int i=1;i+(1<<len)-1<=m;++i)
            f[i][len]=MIN(f[i][len-1], f[i+(1<<(len-1))][len-1]);
    while(n--){
        int l, r;
        scanf("%d %d", &l, &r);
        int k=getk(r-l+1);
        printf("%d ", MIN(f[l][k], f[r-(1<<k)+1][k]));
    }
    return 0;
}

树上倍增

求解LCA

预处理

首先结合dfs预处理出\(f[i][j]\)，\(f[i][j]\)表示节点\(i\)向上跳\(2^{j}\)层的节点

递推公式：

\(f[i][j]=f[f[i][j-1]][j-1]\)

即节点\(i\)分两次向上跳，每次跳\(2^{j-1}\)层跳到的节点就是节点\(i\)向上跳\(2^{j}\)层的节点（\(2^{j-1}\times 2=2^{j}\)）

void load(int x, int fa){
    f[x][0]=fa;
    dep[x]=dep[fa]+1;
    for(int i=1;i<20;++i)
        f[x][i]=f[f[x][i-1]][i-1];
}
void dfs(int u, int fa){
    load(u, fa);
    for(int i=head[u];i;i=nxt[i]){
        int v=vv[i];
        if(v==fa) continue;
        dfs(v, u);
    }
}

同时也能够像下面预处理出\(log^{n}_{2}\)的全部值以优化常数

for(int i=2;i<=tot;++i)
    lg2[i]=lg2[i>>1]+1; // 预处理log2n

查询

首先使两个查询节点跳至同一高度后（由于它们的最近公共祖先不可能低于这两点，跳跃方法同下），当前层记为\(x\)，而后从\(log^{x}_{2}\)到0枚举（递减能保证能够彻底分解成二进制）\(j\)，若是上跳\(2^{j}\)层后不重合，那么就继续跳，重合则不跳，使两点层数一直逼近最近公共祖先，最后跳完\(2^{0}\)层后，两点一定会停在最近公共祖先的下一层，因此最后直接取当前层\(i\)的\(f[i][0]\)就行了。

其中，能够直接从最大可能的\(i\)开始枚举，由于反正\(i\)也很小。

inline int lca(int a, int b){
    if(dep[a]<dep[b]) swap(a, b);
    for(int i=20;i>=0;--i)
        if(dep[f[a][i]]>=dep[b])
            a=f[a][i];
    if(a==b) return a;
    for(int i=20;i>=0;--i)
        if(f[a][i]!=f[b][i])
            a=f[a][i], b=f[b][i];
    return f[a][0];
}

这是一种在线求\(LCA\)的算法，其实还有\(Tarjan\)这种效率高的离线算法。

\(O(1)\)求LCA

另外还有一种\(nlogn\)预处理，每次\(O(1)\)查询的方法。

即用欧拉序+RMQ可实现\(O(1)\)求得LCA。先dfs全树，记录欧拉序（就是记下\(dfs\)走过的节点），而后在欧拉序上以节点深度做为权值建ST表，每次查欧拉序上深度最小的点即为LCA。此时将问题转换为区间求最小值RMQ问题。

预处理

void dfs(int u, int fa){
    dfn[u]=++tot;
    f[tot][0]=u;
    dep[u]=dep[fa]+1;
    for(int i=head[u];i;i=nxt[i]){
        int v=vv[i];
        if(v==fa) continue;
        dfs(v, u);
        f[++tot][0]=u; // 再记录
    }
}

for(int i=1;i<20;++i)
    for(int j=1;j+(1<<i)-1<=tot;++j)
        if(dep[f[j][i-1]]<dep[f[j+(1<<(i-1))][i-1]])
            f[j][i]=f[j][i-1];
        else
            f[j][i]=f[j+(1<<(i-1))][i-1];
for(int i=2;i<=tot;++i)
    lg2[i]=lg2[i>>1]+1; // 预处理log2n

查询

int lca(int a, int b){
    int l=dfn[a],r=dfn[b];
    if(l>r) swap(l,r);
    int lg=lg2[r-l+1];
    if(dep[f[l][lg]]<dep[f[r-(1<<lg)+1][lg]])
        return f[l][lg];
    else return f[r-(1<<lg)+1][lg];
}

求路径上最值

求树上两点\(a,b\)路径上的最小权值

咱们再设一个\(g[i][j]\)表示节点\(i\)向上跳\(2^j\)内所通过的最小权值便可，转移方程：

\(g[i][j]=min(g[i][j-1], g[f[i][j-1]][j-1])\)