【OI】倍增求LCA

 

╭(′▽`)╯

 

总之，咱们都知道lca是啥，不须要任何基础也能想出来怎么用最暴力的方法求LCA，也就是深度深的点先跳到深度浅的点的同一深度，而后一块儿向上一步步跳。这样显然太慢了！

因此咱们要用倍增，倍增比较屌，直接2^k速度往上跳，并且复杂度和树剖lca差很少，那么步骤分为两步

1.让两个点到同一深度

2.到了同一深度同步往上跳

反正我一开始看的时候一直在想，万一跳过了怎么办？哈哈哈，因此说咱们有办法嘛：

 

定义deepv为v点的深度，设两个要求lca的点分别为a,b，且deepa >= deepb

因此，枚举找出最大的k使2^k <= deepa，这就是最大的跳的距离；

接着让他们到达同一深度：

从大到小枚举k，若是 deepa - 2^k >= deepb就往上跳2^k步，由于若是跳了2^k步的话必定deepa >= deepb

因此，咱们跳的第一步必定是能跳的最大的一步，因此接下来只能跳次大的一步，同理跳完以后deepa >= deepb

......

由于k是愈来愈小的，k = 0的时候2^k = 1，所以不管如何最后都会以最大的效率跳到相同的深度

如今跳到了相同的深度，而后要同时向上走找到lca。

假设跳了 2 ^ k步以后它们到的位置不相等，说明lca还在深度更浅的地方，由于若是跳以后到的位置相等了，显然这个位置必定在lca的上面

因此，只要判断跳了 2 ^ k步后它们的位置若是不相等，就跳这步，这样就保证了跳到的深度必定小于lca，最后k = 0时 2 ^ k = 1，

则枚举完了k，它们所在的深度显然必定是lca的深度-1，则lca就是它们任意一个的父亲。

 

代码（luogu lca模板）:

#include <cstdio>
#include <vector>
#include <cstring>

const int MaxN = 500010;

int n,m,s;
int par[MaxN][30];
int deep[MaxN];
bool vis[MaxN];

struct Edge{
    int to,nxt;
}e[MaxN*2];
int head[MaxN];
int cnt;

void add(int u,int v){
    e[++cnt].to = v;
    e[cnt].nxt = head[u];
    head[u] = cnt;
}

void getdeep(int u){
    vis[u] = 1;
    for(int i = head[u]; i; i = e[i].nxt){
        
        int to = e[i].to;
        if(to == u || vis[to]) continue;
        
        par[to][0] = u;
        
        deep[to] = deep[u] + 1;
        
        getdeep(to);
        
    }
    
}

void getpar(){
    for(int up = 1; (1<<up) <= n; up++){
        for(int i = 1; i <= n ; i++){
            par[i][up] = par[par[i][up-1]][up-1];
        }
        
    }
    
}


int lca(int u,int v){
    if(deep[u] < deep[v] ) std::swap(u,v);
    
    int max_jump = -1;
    
    while(1<<(max_jump+1) <= deep[u]) max_jump++;
    
    for(int i = max_jump; i >= 0; i--){
        if(deep[u] - (1<<i) >= deep[v]){
            u = par[u][i];
        }
        
    }
    
    if(u == v)
        return u;
        
    for(int i = max_jump; i >= 0; i--){
        if(par[u][i] != par[v][i]){
            u = par[u][i];
            v = par[v][i];
            
        }
    }
    
    return par[u][0];
    
    
    
    return 0;
    
    
} 



int main()
{
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&s);
    
    for(int i = 1; i < n; i++ ){
        int u,v;
        scanf("%d%d",&u,&v);
        add(u,v);
        add(v,u);
        //par[v][0] = u;
        //par[u][0] = v;
    }

    
    deep[s] = 0;
    
    getdeep(s);
    
    getpar();
    
    for(int i = 1; i <= m; i++){
        int a,b;
        scanf("%d%d",&a,&b);
        printf("%d\n",lca(a,b));
        
    }
    
    //par[i][j] = par[par[i][j-1]][j-1]
    
        
    
    return 0;
}

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