GAMES101-现代计算机图形学入门-闫令琪 - lecture4 观测变换(viewing transformation) - 课后笔记

时间  2020-12-30 标签 计算机图形学 图形学

观测变换（Viewing transformation）

  • 视图 / 相机变换（View / Camera transformation）
  • 投影变换（Projection transformation）
    • 正交投影（Orthographic projection）
    • 透视投影（Perspective projection）

视图/相机变换（View / Camera transformation）

什么是视图变换？

思考下如何去拍摄一张照片：

  • 找到一个好地方，并且调整人的姿势,(只对模型进行了变换（model transform））
  • 调整一个合适的角度，放置摄像机（view transformation）
  • 茄子！（将3d转化为2d，投影变换（projection transformation））

图形就是按照上面的步骤进行变换，最终获得屏幕上的2D图像，这之中进行了三次变换，分别是模型变换（model transformation）、视图变换(view transformation)、投影变换（projection transformation），简称MVP ,这节中主要说视图变换。

视图变换操作的主要对象是相机，然后其他的物体跟着变换。

如何实现一个视图变换？

视图变换是对摄像机进行操作，所以需要先定义一个Camera，定义一个Camera需要：

  • Camera的位置 e (Position)
  • Camera的观察方向 g (Look-at / gaze direction)，
  • Camera的上方向 t（Up direction），上方向用于固定摄像机的角度，如t指向正上方，那么摄像机就是正的，若t指向斜上方，那么Camera拍出来的图片就是斜的
  • Camera的右方向 g × t

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如果把Camera看作空间中的一个物体，若将Camera和其他的物体同时进行移动（进行同一种的位移变换），那么其他的物体和Camera就会是一种相对静止，则Camera中显示的画面就永远不会发生改变，所以要希望能够通过Camera观察不同的物体以及转换视角，必须要让Camera和空间中的其他物体实现相对运动。

只移动物体或者只移动Camera，最后可能都会得到同一个结果。那么既然这样的话，不如永远把Camera固定到原点的位置，并且Up方向指向y轴方向，Look-at方向指向-z轴的方向。这样就认为其他所有的物体在移动，而相机并不移动，为什么这么做？老师说这是大家约定俗成的一个东西。其实因为相机放在（0，0，0）的位置有很多的好处，相机沿着-z看也会有很多的好处。所以这个约定的相机位置就是一个标准位置。

那么怎么操作才能把相机放到原点的位置，并且Up指向y方向，Look-at指向z方向？

相机到达这个标准位置，需要经过平移和变换，那么就用一个变换矩阵来完成相机到原点的过程。该矩阵为：

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那么这个M(view)矩阵在数学上怎么实现？将下面多个变化叠加，最终可以得到M(view)矩阵.

  • 先将Camera的position变换到原点(origin)
  • 将g旋转到-z轴方向
  • 将t旋转到y轴方向
  • 将g×t旋转到x轴方向

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M(view)矩阵的具体实现：

将M(view)矩阵分解为R(view)和T(view)两种变换矩阵，其中T(view)为位移矩阵，将Camera的position移动到原点，R(view)为旋转矩阵，将Camera的几个方向轴旋转到坐标系的位置。

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T(view)矩阵，将Camera的position移动到原点，即将（xe,ye,ze）移动到（0，0，0），则x,y,z上的位移量分别为-xe,-ye,-ze。

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R(view)矩阵要做的事就是将g旋转到-z轴，t旋转到Y轴，(g × t)旋转到x轴。如果这样直接旋转太麻烦，-z轴的方向向量为（0，0，-1），y轴的方向向量为（0，1，0），x轴的方向向量为（1，0，0），明显可以看出，从-z旋转到g，从y旋转到t，从x轴旋转到（g×t）更为简单，这个旋转矩阵为：
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再求这个矩阵的逆矩阵，即逆变换，就可以得到Camera的三个方向旋转到坐标系的三个轴的变换矩阵。因为旋转矩阵都是正交矩阵，所以其逆矩阵 = 转置矩阵。

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得到了以上的两个变换矩阵后，就可以将Camera的位置设置在原点，并以-z轴为look-at方向，以y轴为up方向。就可以认为Camera是始终不动，变换的一直是Camera以外的其他的物体

相机/视图变换总结

投影变换（Projection transformation）

在图形学中，投影就是将3D的图形投影到2D的平面上，即将三维物体转换成能在能在屏幕上显示的二维图像。

投影变换分为正交投影和透视投影

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左图为正交投影，右图为透视投影。透视投影进大远小，更符合人眼的观察效果；正交投影不具有进大远小的性质，正交投影是假设Camera位于无限远的位置，投影出来的物体不论近处还是远处，大小都是一样大，更适用于工程制图。具体情况如下所示：
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左图为透视投影，透视投影的近平面和远平面的大小不同，会将平截头体内部的物体投影到近平面上（绿球在外面，所以没有投影进来），并且离近平面(near clip plane)近的物体较大，远的物体的投影较小。右图为正交投影，而正交投影则是将正方体内物体投影到近平面上，假设Camera在无限远处，那么所有的投影都是以平行光的方式进行投影到近平面上，所以不具有近大远小的效果。（只有在近平面（near clip plane）和远平面（far clip plane）内的物体才能被投影到近平面上）。

正交（射）投影（Orthographic Projection）

正交投影是把Camera固定在原点上，look-at方向为-z轴，up方向为y轴，如果要对物体进行正交投影，只需要将三维坐标中的z坐标直接丢弃，就能够得到投影的结果，如图所示，投影平面为z = 0，直接丢弃z坐标或者直接令z坐标为0，就可以得到投影的效果。

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正交投影最后会被缩放到一个[-1,1]的区间范围内，即所有的点的坐标的分量都是在[-1,1]之间的，如果在范围之外则会缩放到[-1,1]之间，这是一个约定俗成的规定。

但是正交投影无法区分前后关系，如上图所示，得到的投影面如下：
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你并不能判断E在前面还是方块在前面。

那么，如果我有一个立方体，我应该如把它转换到[-1,1]之间？

在坐标系统，使用六个数即可定义个立方体(如x=1代表一个面，x=-1代表一个面，六个数定义6个面，包围起来的立体就是立方体)，用 l(left) , r(righit) , b(bottom) , t(top) , f(far) , n(near)六个数定义一个立方体.

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最右边的立方体经过位移，缩放，最终投影的立方体在[-1,1]之间。而转换的矩阵是：

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右边的矩阵先与点（表示点的坐标的向量）结合，将物体位移到原点，然后左边的矩阵对其进行缩放。

透视投影（Perspective Projection）

  • 在图形学、艺术以及视觉上最常用的投影。（正交投影并不行，更适用于工程制图）
  • 远处的物体更小，近处的物体更大
  • 平行线不再平行，最后会汇聚到一个单一的点上

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如图所示，平行的铁轨在透视投影的情况下，最终铁规会汇聚到一个点上。

在学习透视投影之前，要先了解一些知识：齐次坐标的属性！

  • （x,y,z,1），（kx,ky,kz,k!=0）,(xz,yz,z^2,z!=0)，全都代表了同一个（x,y,z）点。齐次坐标（x,y,z,w）所代表的点为（x/w , y/w , z/w）。
  • 比如：（1，0，0，1）和（2，0，0，2） 都代表着（1，0，0）这个点。

那么如何进行透视投影？

下面有两个透视体
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左边为透视投影的透视范围，是一个平截头体，中间的每一条线最后都会汇聚到Camera所在的位置；右边为正交（射）投影的透视范围，因为默认Camera在一个无限远的地方，所以中间的每一条线都是平行的。

要进行透视投影的话，需要完成两步
  • “挤压”这个平截头体，让其成为一个长方体或者立方体，如正交（射）投影那样
  • 然后对这个长方体进行正射投影，就可以得到透视投影的最终效果。
“挤压”的这种变换的实现：

所谓挤压，就是将远平面f按照比例，挤压成近平面n的那种大小，远平面f上的点的坐标就会发生变化：1.中心点不变，比如中心点为（0，0），挤压之后依旧是（0，0），2.其他的点向中心进行偏移，比如近平面是x和y在[-1,1]这个区间上的正方形 ，而远平面f为[-2,2]的正方形，那么远平面挤压过后，也要变为[-1,1]的正方形，那么远平面的点与原来的位置相比，就更靠近中心了。

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如上图所示，要用矩阵来完成这种变换就要找到这个矩阵，找到这个矩阵就意味着找到(x’ , y’ , z’)和（x , y , z）之间的关系，其中（x’ , y’ , z’）在近平面上，（x , y , z）在远平面上。由相似三角形可以得出他们之间的关系：

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在齐次坐标下就可以表示为：

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中间第二个向量表示的是(x’ ,y’ , z’)，因为没有找到z和 z’ 之间的关系，所以目前用unkown来表示，然后四个维度都×z，能够得到一种比较简单的表示方法，但是代表的点仍然是原来那个点，z’仍然是unkown，但是发生了变化。

这种将透视投影“挤压”成正交投影的变换，用矩阵表示如下:

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M(persp->ortho)代表着“挤压变换”，（x,y,z,1）代表原始状态下远平面上的点，（nx , ny , unkown , z）代表挤压后远平面的点。

于是，根据上面的这个式子就能够先写出矩阵的一部分信息：

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接下来的任务就是寻找第三行的数值：

第三行的值是有关于z的变换的关系，如果能找到z和 z’ 之间的关系，就能够写出第三行的数值，由观察可以得出：

  • 所有近平面上的点都没有发生变换（因为所有的平面都要挤压的近平面的大小，近平面并不需要挤压，所以不发生变化）
  • 所有远平面上的点的z的分量不会发生变化（因为挤压只挤压了平面的大小，并没有移动远平面的位置）

根据上述第一点，近平面点不变，可以得到：

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因为近平面的点不变，所以输入的点和输出的点应该是相等的，同一个点
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由这个式子可以得出：第三行必定是为（0，0，A , B）的格式，并且

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进一步推到得到：

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然后再利用上述的第二点：在远平面上的任何点的z值都不会发生变换，比如选一远平面上的点为（0,0,f,1），则：

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根据两个等式，就可以求A和B的值：

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最后就能够获得”挤压变换“的矩阵
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接下来应该做什么？

  • 先做正射投影
  • 透视投影的变换就是正射投影和挤压变换的叠加：

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