Bellman-Ford&&SPFA算法详解

Dijkstra在正权图上运行速度很快，可是它不能解决有负权的最短路，以下图：

Dijkstra运行的结果是（以1为原点）：0 2 12 6 14；

但手算的结果，dist[4]的结果显然是5，为何会出现这种状况呢？缘由很显然，Dijkstra认为，从一个更长的边过来不会比一个更短的边过来更短（读起来很绕口，但请读者好好理解这句话！）可是因为出现了负权边，能够“救回来”，就像松弛2号节点同样。

Bellman_Ford:

知道了Dijkstra为何不能作负权图以后，咱们来看看Bellman-ford算法。它的基本思想是：图的最短路，既不会包含正环（能够不走），更不能有负环（不然一直走就能够无限小），所以最多通过n-1条边（每一个节点都通过一次），bellman-ford其实是枚举距离源点多少条边，尝试对每条边松弛的过程。请读者联系上图，自行推导一下Bellman_ford的运行过程

样例以下：

5 5
1 2 2
1 3 12
3 2 -13
2 4 4
3 5 2

朴素Bellman_Ford算法的时间复杂度是O(NM)；程序以下：

 

 1 #include<iostream>
 2 #include<cstdio>
 3 #include<queue>
 4 #include<cstring>
 5 using namespace std;  6 int n,m,s,dist[100001],v[200005],w[200005],u[200005],cnt,x,y,z;  7 void bellman_ford(int s)  8 {  9     memset(dist,20,sizeof(dist)); 10     dist[s]=0; 11     for(int i=1;i<=n-1;i++) 12  { 13         for(int j=1;j<=m;j++) 14  { 15             dist[v[j]]=min(dist[v[j]],dist[u[j]]+w[j]); 16  } 17  } 18 } 19 int main() 20 { 21     scanf("%d %d",&n,&m); 22     for(int i=1;i<=m;i++) 23  { 24         scanf("%d %d %d",&u[i],&v[i],&w[i]); 25  } 26     bellman_ford(1); 27     for(int i=1;i<=n;i++) 28  { 29         cout<<dist[i]<<" "; 30  } 31     return 0; 32 }

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SPFA:

SPFA是对Bellman_Ford算法的优化，它采用队列保存即将松弛其余点的节点，每次选与队首相连的点进行松弛，可使用链式前向星（邻接表）实现，避免了Bellman_Ford算法许多无效的松弛操做，平均复杂度O(KM)，K为平均松弛次数，也有可能被网格图卡回O(NM)，是不稳定的算法。程序以下：

 

 1 #include<iostream>
 2 #include<cstdio>
 3 #include<queue>
 4 #include<cstring>
 5 using namespace std;  6 int n,m,s,dist[100001],v[200005],w[200005],nxt[200005],head[200005],cnt,x,y,z;  7 bool vis[100001];  8 void add(int a,int b,int c)  9 { 10     v[++cnt]=b; 11     w[cnt]=c; 12     nxt[cnt]=head[a]; 13     head[a]=cnt; 14 } 15 void SPFA(int s) 16 { 17     memset(dist,20,sizeof(dist)); 18        queue<int>q; 19     dist[s]=0; 20     vis[s]=1; 21  q.push(s); 22     while(!q.empty()) 23  { 24         int c=q.front(); 25  q.pop(); 26         vis[c]=0; 27         for(int i=head[c];i;i=nxt[i]) 28  { 29             int y=v[i]; 30             if(dist[y]>=dist[c]+w[i]) 31  { 32                 dist[y]=dist[c]+w[i]; 33                 if(!vis[y]) 34  { 35  q.push(y); 36                     vis[y]=1; 37  } 38  } 39  } 40  } 41 } 42 int main() 43 { 44     scanf("%d %d",&n,&m); 45     for(int i=1;i<=m;i++) 46  { 47         scanf("%d%d%d",&x,&y,&z); 48  add(x,y,z); 49  } 50     SPFA(1); 51     for(int i=1;i<=n;i++) 52  { 53         cout<<dist[i]<<" "; 54  } 55     return 0; 56 }

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