线性代数笔记32——线性变换及对应矩阵

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　　线性变换这个词在线性代数中常常被说起，每一个线性变换的背后都有一个矩阵。矩阵的概念比较直观，相比之下，线性变换就显得抽象了。

线性变换

　　抛开矩阵，咱们从变换的角度讨论投影。经过T变换，使平面内的一个向量投影到一条直线上：

　　T就像一个函数：给定一个输入向量，通过T的变换，输出成直线上的投影，过去咱们一直用更专业的“映射”称呼这种变换关系。下图中v和w是R²空间内的向量，经过T变换变成了直线上的投影，即T(v)和T(w)：

　　

　　变换的关系有不少，而线性代数只讨论线性变换。若是T表示一个线性变换关系，对于任意向量v和w以及标量c，线性变换应该保证下面两个运算的不变性，加法不变性和数乘不变性，这一点和线性组合相似：

　　把两者结合：

　　顺便说一下，投影变换是一种线性变换。

判断线性变换

　　判断一个变换是不是线性变换其实并不困难，只要判断这个变换是否知足加法不变性和数乘不变性便可。

反例1：平移整个平面

　　假设某个变换关系T是平面沿着某个方向平移v₀，也就是说对于平面内的任意向量v，都有T(v) = v + v₀，T变换是不是线性变换？

　　这个看起来很简单的变换并非线性变换，它违背了线性变换的两个不变性，以数乘不变性为例：

　　线性变换的不变性要求对输入空间内的任意向量都成立，固然也包括零向量，所以一个更简单的判断方法就是使用零向量。数乘不变性对于零向量来讲将有T(0) = 0，但本例中T(0) = v₀，因此说“平移”变换不是线性变换。

反例2：求向量的长度

　　变换关系T(v) = ||v||是不是线性变换？

　　T变换将产生维度的变化。假设v是一个三维向量，通过T的变换将变成一个大于等于0的实数，也就是一维向量：

　　虽然本例知足T(0) = 0，可是对于数乘不变性来讲，若是c是负数，那么T(cv) ≠ cT(v)，所以本例不是线性变换。

正例1：旋转变换

　　变换关系T：R²→R²是将一个二维空间的向量旋转45°，这个变换是不是线性变换？

　　答案是确定的，它符合线性变换的两个不变性。

　　即便去掉坐标轴，依然可以清晰地描述这个变换，下图是对二维平面内的图形进行旋转：

正例2：线性变换与矩阵

　　到目前为止，线性变换尚未和矩阵产生任何关系。如今有一个变换关系是矩阵乘以一个向量，T(v) = Av，其中A是一个矩阵。根据矩阵乘法的性质：

　　这符合线性变换的两个判据，所以矩阵乘以向量是一个线性变换。这意味着选中一个矩阵，用它乘以平面上的全部向量，将获得一系列线性变换后的结果，即整个平面经过矩阵乘法发生了变换，这也是一个值得研究的结果。

　　如今有一个矩阵：

　　若是用A乘以一个R²空间的向量v——固然，A是2×2矩阵，它也只能乘以一个R²空间的向量——将把v线性变换成另外一个向量，变换后的向量的x份量不变，y份量与v的y份量相反：

　　

描述线性变换

　　咱们的目的是理解线性变换，而理解线性变换的本质是肯定线性变换背后的矩阵，虽然能够在脱离坐标和具体数值的状况下讨论线性变换，可是为了更好地描述，咱们仍然有必要引入坐标系。

　　假设有一个三维向量，可以经过某种线性变换变成二维向量，这将是一个怎样的变换？

　　用矩阵描述这个关系，T(v) = Av，v是三维向量，经过Av变成了二维向量，那么A必定是一个2×3矩阵。任何一个2×3的矩阵均可以将一个三维向量线性变换成二维向量，每个变换都对应一个具体的矩阵。

输入空间的基

　　对于平面内特定的向量v₁，只要看看T(v₁)就能够了解线性变换对它产生的做用。咱们对空间内其它向量的线性变换一样感兴趣，换句话说，咱们想知道线性变换对于整个输入空间的影响。既然向量空间是由线性无关的向量张成的，那么只要知道平面内两个线性无关的向量，就能够了解平面内全部向量线性变换的结果。也就是说，只要知道输入空间的基，就能掌握线性变换对整个输入空间的影响。

　　v₁,v₂……v_n是输入空间的一组基向量，把它称之为输入基。只要知道全部输入基的线性变换，就能够知道输入空间内任意向量的线性变换：

坐标

　　先来看看什么是坐标。

　　Rⁿ空间的坐标是一组数字，这些数字表示Rⁿ空间的给定向量v由多少个基向量组成（基向量线性组合的系数），可是基向量不止一组，若是基向量改变了，坐标也随之改变，所以通常来讲，坐标系创建在标准基的基础之上。例如一个三维空间的向量的坐标是(2,3,4)：

　　上式能够清晰地看到v是三个标准基向量的线性组合，尽管大多数时候咱们都意识不到这种组合。

　　对于线性组合来讲，一旦选定了一组基，坐标也随之肯定。好比对于输入空间的任意一个向量v来讲，均可以用基向量的惟一线性组合表示：

　　一旦向量肯定，其线性组合也随之肯定，此时c₁, c₂ ,…,c_n就是该向量的一组肯定的坐标值。

线性变换与矩阵

　　咱们的目的是肯定线性变换背后的矩阵，矩阵是与坐标有关的（矩阵中的元素是肯定的值），而线性变换与坐标无关。如今的问题是，如何把一个与坐标无关的线性变换变成一个与坐标有关的矩阵？

　　假设有T可以完成一个向量从n维空间到m维空间的线性变换：

　　如今咱们打算构造一个矩阵A来描述这个线性变换。在描述时须要两组基：输入空间的一组基来描述输入向量，以及输出空间的一组基来肯定输出向量的坐标。这两组基一旦肯定，对应的矩阵也就肯定了。

　　v₁,v₂……v_n是输入空间的一组基向量，来自Rⁿ空间；w₁,w₂……w_m是输出空间的一组基向量，来自R^m空间。对于每一个输入向量来讲，都有具体的坐标值，该坐标由基向量的线性组合肯定，而后把这些坐标值乘以某个矩阵A，将获得相应的输出向量，输出向量的坐标一样能够由输出空间的基肯定。用矩阵A来表示线性变换，就是将矩阵乘以输入向量的坐标，获得它在输出空间的坐标。

　　值得注意的是，线性变换背后的矩阵A乘以的是输入向量的坐标，不是输入向量自己，获得的也是输出向量的坐标，不是输出向量自己。定义一个线性变换T(v)，对v = c₁v₁ + c₂v₂ + …… + c_nv_n进行变换，若是用A描述这个变换，则A须要知足：

　　

　　以后用输出向量的坐标对输出空间的基向量进行线性组合，获得最终的输出向量w：

　　因为咱们以前一直使用的是标准基，所以感受不到坐标的存在。

　　

　　咱们以前说过，投影属于线性变换，这里正好用投影的例子对上面的描述加以说明。为了简单起见，将这个投影定义在二维空间，n = m = 2。参与变换的向量都在平面上，让平面上的全部向量都投影在一条直线上。选择输入空间的两个基向量v₁和v₂代替R²空间的标准基向量，其中v₁沿着投影方向趴在直线上，v₂垂直于投影方向：

　　上图特地去掉了坐标系，以强调线性变换与坐标无关。同时，因为输出空间也是R²空间，咱们也一样用v₁和v₂做为输出空间的基，即w₁ = v₁, w₂ = v₂。

　　以前说过，输入空间和输出空间的基一旦肯定，对应的矩阵也就肯定了。如今的问题是，根据v₁、v₂和w₁、w₂如何描述这个用于线性变换的变换规则？也就是说，做用于线性变换的矩阵是什么？

　　对于出入空间的任意向量v，均可以表示成两个基向量的线性组合：

　　咱们事先已经知道投影变换是一种线性变换，它线性变换的两个不变性：

　　T表示投影变换，T(v₁)是v₁的投影，沿着直线方向的向量的投影就是这个向量自己，因此T(v₁) = v₁。v₂垂直于直线，它的投影是零向量，因此T(v₂) = 0。由此获得了投影变换和这组基向量的关系：

　　A用一组特殊的输入基和输出基（垂直于直线和沿着直线方向的一组基）描述了线性变换，将矩阵A乘以输入向量的坐标，获得它在输出空间的坐标：

　　若是改用标准坐标基，即：

　　投影的直线也须要给出具体的位置，假设T(v)变换是将向量投影到45°的直线上：

　　如今尝试找出这个符合要求的矩阵，也就是投影矩阵。根据投影矩阵的公式，能够用向量a = (t, t)表示直线，从而求得投影矩阵：

　　

　　在使用标准坐标基的时候，坐标值等于向量自己：

　　能够看到，若是选择的基向量不一样，即便对于一样的线性变换，背后的矩阵也不一样。在使用标准坐标基的时候，感受不到坐标的存在，此时矩阵乘以输入向量等于输出向量。实际上第一次是以投影矩阵的特征向量为基，获得的矩阵A是投影矩阵P的特征值矩阵。

如何肯定矩阵

　　肯定矩阵A的前提是须要知道输入空间和输出空间的基，咱们依然用v₁,v₂……v_n和w₁,w₂……w_m表示这两组基。T(v₁)表示对输入空间的第一个基向量v₁作线性变换，此时矩阵A乘以的坐标是(1,0,…,0)，获得的输出坐标是：

　　

　　当知道线性变换的结果时，就能够经过它的坐标肯定A的第一列。上式实际上描述了这样线性变换：

求导也是一种线性变换

　　这里有一个特殊的线性变换——求导，T = d/dx。咱们之因此可以对函数求导，正是由于求导自己是一种线性变换，所以只须要掌握少许的求导法则，就能求出函数线性组合的导数。

　　假设输入空间的基是1, x, x²，线性组合是c₁ + c₂x + c₃x²；输出是导数：

　　输出空间的基是1, x。这是一个从三维空间到二维空间的线性变换：

　　描述这个线性变换的矩阵A知足：

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