计算机图形学之矩阵变换

重点是理解矩阵的含义：矩阵实际上是一种坐标系的转换

理解矩阵的几何功能:

1. 矩阵是一种线性变换（线段变换后还是线段，而且原点不会改变）
2. 矩阵是一种映射，映射能够是一对一，也能够是一对多
3. 矩阵是一种空间变换，每一种矩阵都是有自己的几何意义，而不是单纯的数字组合

理解矩阵的形式含义（矩阵在左，向量在右）：

1. 方阵满秩，是进行当前空间的坐标变换，不会进行维度的升高和下降
2. M×N(M>N),这种矩阵是一种升维矩阵，几何意义如3×2，就如同把一个平面进行一个方向维度的延展（当秩为2时），变成一个三维的空间，固然以前空间中的点（x,y）在提高维度的过程当中在三维空间中仍是一个平面分布，只是多了一个值全相等的第三个维度的值而已
3. M×N(M<N),这是一种降维矩阵，几何意义如2×3（当秩为2时），是把三维的向量进行一个维度的压缩，挤压成一个平面，这个时候固然会出现不少个点压缩到一个二维坐标的状况
4. 方阵不满秩，其实和以前是同样的，不满秩就说明这个维度是虚的，没什么用，若是秩是一的话就是挤压成一条线。

一.平移矩阵

1.1二维平移矩阵

形式：平移矩阵的形式是什么样的呢。

必定是一个满秩的矩阵，由于咱们并不会进行维度的变换。 坐标轴的方向和长度是不变的，由于矩阵运算的本质是改变的参考系的X，Y。
寻找矩阵：

那么什么样的矩阵可以使得一个点进行平移操做呢，由于平移操做并不会改变参考系XY的方向和单位向量的长度，因此实际上，在当前的维度中，咱们并不可能作到，为何呢？由于咱们以前说过，矩阵的线性变换并不会改变原点的位置，矩阵是默认原点就是（0，0），在矩阵中填充任何的值都没办法改变这个约定熟成的决定。那么怎么作到呢，咱们利用更高一维的矩阵，也就是三维矩阵进行操做，其实就是在更高的维度当中，解决咱们的原点平移问题。

在这里，须要说明的是，若是咱们使用的是左矩阵右向量的形式，那么构成咱们全新的坐标系的向量应当是矩阵中的列。咱们在增长了一个新的维度，（dx,dy,1）,dx,dy就是咱们要平移的数量，而增长一个1，是由于要保持秩是3，毕竟咱们是从更高一层的维度来转移咱们的坐标原点的。

从几何意义来讲，平移矩阵其实就是增长一个并不正交的Z轴（dx,dy,1）来进行一个坐标轴的从新定义，继而将坐标转换位置。

这里须要注意的是，点V=（x,y,1），并非再是咱们二维坐标上的点，而是以P的列向量为基所构成的三维空间上的点，只是说咱们把二维的点变为V=（x,y,1）而后通过对应矩阵P的线性变换，最终获得平移点的位置。

这个过程可能有些难以理解，可是又是那么的巧妙和精确。咱们所构造的矩阵P，是经过新空间中基的列向量来构成的，其中的列向量中每个坐标值对应的数值，其实都是以咱们原有的基x=(1,0),y=(0,1)来决定的。P这个矩阵，是一种线性的变换，是把用它坐标系中表示的点的位置坐标，来映射到原先咱们肯定它的时用的基的空间里。

这其实就是一种投影运算，对V的每一个坐标值进行投影。

而p的逆矩阵，其实就是把咱们的坐标映射到P的坐标中的运算。

1.2三维平移矩阵

当咱们理解了二维的平移矩阵，那么，其实三维的矩阵也是同样的原理

二.旋转矩阵

旋转矩阵的基础含义就是绕原点的旋转。

2.1二维旋转矩阵

形式：旋转矩阵的形式是什么样的呢。

必定是满秩的，由于没有进行维度变换 坐标轴的长度应该是不变的，由于没有进行放缩操做，可是角度应该是要变的。
寻找矩阵：

假设咱们有点v=(x,y),坐标轴是标准的坐标轴，角度是为，是与x轴正方向的夹角。

首先，咱们已经知道了一些知识，那就是寻找新的坐标轴的基，且基的长度还是1.那么

这就是咱们所须要的旋转矩阵

2.2三维旋转矩阵

对于三维来讲是差很少的，不过由于旋转轴的不一样，旋转矩阵的形状也是不一样的

能够结构成这么一段话，对于标准坐标系而言，要将一个点V移动到V1（在这里V和V1的表示都是标准坐标系下的），那么用新基构成的矩阵P变换V，获得V1。这是由于，V在标准坐标系中的坐标和V1在P的坐标系下的坐标是同样的。

因此，矩阵变换的并非V，而是V1。由于P的做用是把自己的坐标里的点变成标准坐标系的点的坐标，因此变换的其实不是标准坐标系里的V，而是自身的V1，由于他们二者的值是相同的，会有很强的误导性，可是并非说他们空间中的绝对位置是相同的。仅仅由于参考系的变换，致使了他们的值相同。

三.放缩矩阵

放缩矩阵其实就很简单，图形的放缩其实就是咱们自己的坐标轴的基的放缩

四.投影矩阵

将点v，投影到一个平面A，投影方向是B的法向量n。

形式：正交投影矩阵的形式是什么样的呢。

应该是高维矩阵，由于其中包含平移操做 应该是一个不满秩的矩阵，毕竟咱们的坐标都放到了一个面上 由于是正交投影，因此咱们压缩的，其实就是沿着B法向量上的点 寻找矩阵：咱们设V=（vx,vy,vz）,A有一点a=（ax,ay,az）,面的法向量N=（Nx,Ny,Nz）

1. 首先确立平面上的坐标系，经过点A，和法向量N创建坐标系（X*,Y*,Z*）.
2. 其中Z是法向量N的方向，转向是没有关系的。
3. 若是这么就完了并不能完成平移操做，仅仅完成的是坐标系方向的转向，位置上还须要平移
4. 因此须要原点到平面的距离矢量L
5. 创建最后的投影矩阵 注意：咱们这里所须要的，是应该求逆矩阵，当咱们所须要的是投影坐标表示而不是在原先坐标系表示的时候